强数学归纳法

强归纳数学归纳法是指：若$X$是一个带有序关系$\preceq $的良序集.对于任意$x\in X$,$P(x)$都是关于$x$的性质($P(x)$非对即错).令$x_0$是$X$中的最小元.已知$p(x_0)$成立.若$\forall m\prec n$,$P(m)$都成立，则$P(n)$也成立.则$\forall x\in X$,$P(x)$成立.

证明：假若存在$x\in X$,使得$P(x)$不成立.把所有使得$P(x)$不成立的$x$组成一个非空集合$U$.由于$X$是良序的，故$U$必有最小元$x_u$.$x_u$必定不是$X$的最小元，因此必有$x_k\prec x_u$.所有满足条件的$x_k$也能组成一个集合$M$.易得$M\bigcap U=\emptyset$.$\forall x_k\in M$,$p(x_k)$都成立.由题目条件"若$\forall m\prec n$,$P(m)$都成立能推出$P(n)$成立"可知$P(x_u)$也成立.矛盾.因此假设错误，即$\forall x\in X,P(x)$成立.

 

 

注1.为什么良序集里的归纳法要写成强归纳原理的形式，写成普通数学归纳法(就是中学教材上出现的那种数学归纳法)的形式可不可以？即这样叙述：

若$X$是一个带有序关系$\preceq $的良序集.对于任意$x\in X$,$P(x)$都是关于$x$的性质($P(x)$非对即错).令$x_0$是$X$中的最小元.设$U\subset X$,把$U$的最小元记为$\min(U)$.已知$p(x_0)$成立，且$\forall y\in X$,$P(y)$成立能推出$P(\min (X\backslash\{x\in X:x\preceq y \}))$成立.则$\forall x\in X,$,$P(x)$成立.

 

事实上，写成普通数学归纳法的形式是不可以的.因为$\forall y\in X$,你都可以找得到$\min (X\backslash\{x\in X:x\preceq y\})$,即你都可以找得到恰在$y$后面的元素.但是却未必能找得到恰在$y$前面的元素.

当$X$是不可数集时，必定存在$t\in X$,使得你只能找到恰在$t$后面的元素，而找不到恰在$t$前面的元素，因为不可数集$X$必定含有序型$\mathbb{N}+1$.

 

更加详尽的讨论见Why the priciple of strong induction stated in such way?

注2:良序集的强归纳原理的一个特例，就是序数的超限归纳法.