开区间覆盖的约简

令$a,b\in\mathbf{R}$,形如$(a,b)$,$(a,+\infty)$,$(-\infty,b)$,$(-\infty,+\infty)$的区间叫$\mathbf{R}$上的开区间.设$J$是非空集合,$M$是$\mathbf{R}$的非空子集.$\forall i\in J$,$A_i$是$\mathbf{R}$上的开区间,且$M\subseteq \bigcup_{i\in J} A_i$.

 

令
$$
  L=\left\{\bigcup_{i\in S}A_i:S\subseteq J,\mbox{且}\bigcap_{i\in S}A_i\neq \emptyset\right\}.
$$
令
$$
  D=L\bigcup \left\{ A_i:i\in J\right\}.
$$
令$$
  T=\left\{x:x\in D,\mbox{且}x\subsetneq\bigcup(D\backslash\{x\})\right\}.
$$
其中$\bigcup(D\backslash\{x\})$指$D\backslash\{x\}$中所有元素的并.

 

定理: $\forall a\in M$,$a$必被$D\backslash T$覆盖,且只能被$D\backslash T$中的一个或两个元素覆盖.

证明:我们先证明$M$中的任意元素$a$必定被$D\backslash T$覆盖.我们使用反证法.假若$\exists a\in M$,使得$a$不被$D\backslash T$覆盖,则必有
 $$
    \left\{p:p\in D,\mbox{且}a\in p\right\}\subseteq T.
 $$
记$\bigcap_{p\in D,a\in p}p$为集合$\{p:p\in D,\mbox{且}a\in p\}$中所有元素的交,$\bigcup_{p\in D,a\in p}p$为集合$\{p:p\in D,\mbox{且}a\in p\}$中所有元素的并.由于$\bigcap_{p\in D,a\in p}p\neq\emptyset$,根据集合$L$和$D$的定义可见$\bigcup_{p\in D,a\in p}p\in D$,进一步地,有$\bigcup_{p\in D,a\in p}p\in T$.可见,
  \begin{equation}\label{eq:1}
    \bigcup_{p\in D,a\in p}p\subsetneq D\backslash\{\bigcup_{p\in D,a\in p}p\}.
  \end{equation}
根据开区间的性质易得式\ref{eq:1}是不可能的.

 

下面再证明$M$中的任意元素$a$至多被$D\backslash T$中的两个元素覆盖.这是因为假如存在$M$中的某个元素被$D\backslash T$中的超过两个元素覆盖,结合$T$的定义,易得
会与开区间的性质发生矛盾.综上,命题成立.