多元微分学小结(3):利用反函数定理来判断函数独立

这是多元函数微分学的第三篇小结.内容是利用反函数定理来证明涉及函数独立的一个定理.这个定理在数学分析里貌似不常见,但是在一些常微 分方程教材里被用来定义常微分方程的通解.因此我决定将其弄通透.这篇小结 主要参考了欧阳光中等人编写的高等教育出版社的《数学分析》 第三版下册.

下面先来介绍函数相关和函数独立的概念.

Definition 1 (函数相关与函数独立) 设 $ D$ 是 $ \mathbf{R}^n$ 的一个子集.我们来看 $ D$ 上的函 数 $ g:\mathbf{R}^n\rightarrow\mathbf{R}^m$, $ g(\mathbf{x})=\mathbf{y}$,其中 $ \mathbf{x}=(x_1,\cdots,x_n),\mathbf{y}=(y_1,\cdots,y_m)$.将函 数 $ g$写成分量形式 $ (g_1,\cdots,g_m)$,我们就会得到 $ m$ 个函数

$ {\displaystyle \begin{cases} y_1=g_1(x_1,\cdots,x_n)\\ \vdots\\ y_m=g_m(x_1,\cdots,x_n)\\ \end{cases}. }$

如果存在 $ 1\leq i\leq m$,且存在函数 $ G:\mathbf{R}^{m-1}\rightarrow \mathbf{R}$,使得 $ \forall (x_1,\cdots,x_n)\in D$,有

$ {\displaystyle g_{i}(x_{1},\cdots,x_{n})=G(g_1(x_1,\cdots,x_n),\cdots,g_{i-1}(x_1,\cdots,x_{n}),g_{i+1}(x_{1},\cdots,x_{n}),\cdots,g_m(x_1,\cdots,x_n)), }$

则称函数 $ g_1,\cdots,g_m$ 是在 $ D$ 上函数相关 的.如果 $ g_1,\cdots,g_m$在 $ D$ 的任意非空子集上不函数相关,则称这 $ m$ 个 函数在 $ D$ 上函数独立.

值得注意的是,$ m$ 个函数在某个集合上的函数相关和函数独立肯定是互斥事 件,但不一定是对立事件,也就是说,$ m$个函数在 $ D$ 上可能既非函数相关也非函 数独立,这种情况发生在这样的情形,也就是这 $ m$ 个函数在 $ D$ 上不是函数相 关的,但是在 $ D$ 的某个非空子集上却函数相关.下面我举出一个满足这样条件的 例子,这个例子来 自 George 在 StackExchange 上的 一个问题.

Example 1 函数

$ {\displaystyle f(x,y)=\frac{-y}{x} }$

和函数

$ {\displaystyle g(x,y)=\log |x| }$

在 $ \mathbf{R}^2\backslash (\{0\}\times \mathbf{R})$ 上不是函数相关 的,然而在 $ \mathbf{R}^2\backslash (\{0\}\times \mathbf{R})$的某个非空子 集 $ (\mathbf{R}^2\backslash(\{0\}\times \mathbf{R}))\cap (\mathbf{R}\times \{y_0\})$ 上函数相关,其中 $ y_0\in\mathbf{R}$ 是定值.

显然,若 $ m$ 个函数中有两个函数是函数相关的,则 $ m$ 个函数是函数相关的.而且,一个函数总是和本身相关.且若 $ m$ 个函数里有常值函数,则这 $ m$ 个函数必然相关.

Theorem 2 (函数独立判别法) 设 $ D$ 是 $ \mathbf{R}^n$ 的一个子集.我们来看 $ D$ 上的连续可微函 数 $ g:\mathbf{R}^n\rightarrow\mathbf{R}^m$,其中 $ m\leq n$. $ g(\mathbf{x})=\mathbf{y}$,其中 $ \mathbf{x}=(x_1,\cdots,x_n),\mathbf{y}=(y_1,\cdots,y_m)$.将函 数 $ g$写成分量形式 $ (g_1,\cdots,g_m)$,我们就会得到 $ m$ 个函数

$ {\displaystyle \begin{cases} y_1=g_1(x_1,\cdots,x_n)\\ \vdots\\ y_m=g_m(x_1,\cdots,x_n)\\ \end{cases}. }$

且 $ g$ 在 $ D$ 的任意一点上的导数所对应的 $ m\times n$ 雅可比矩阵中的固定位置\footnote{所谓固定位 置,指的是无论雅可比矩阵怎么变,我们都选取固定的行和固定的列而形成一 个 $ m\times m$ 方阵.呵呵,顺便提一下,无论雅可比矩阵怎么变,都会是一 个 $ m\times n$ 的矩阵.}都存在一个 $ m$ 阶可逆子方阵\footnote{所谓一 个矩阵的 $ m$ 阶子方阵,就是从该矩阵中选出$ m$行和$ m$列,按原有的行列顺 序排成的一个方阵.},则$ g_1,\cdots,g_m$ 在 $ D$ 上函数独立.

Proof: 由于 $ g$ 连续可微,且 $ m$ 阶可逆子方阵代表了一个从 $ \mathbf{R}^m$ 到 $ \mathbf{R}^m$ 的可逆线性映射.因此根据反函数定 理,存在一个连续可微的可逆函 数 $ p:\mathbf{R}^m\rightarrow \mathbf{R}^{m}$,使得$ p((y_1,\cdots,y_m))=(x_{i_1},\cdots,x_{i_m})$,其中 $ 1\leq i_1,\cdots,i_m\leq n$,且 $ i_1,\cdots,i_m$ 两两互不相 等.

假设 $ g_1,\cdots,g_m$ 函数相关,则 $ y_1,\cdots,y_m$ 中必然存在一个数$ y_{j}$,$ y_j$ 因为 $ y_1,\cdots,y_{j-1},y_{j+1},\cdots,y_m$的确定而随之被确定.由 $ p$ 的可逆 性,可得 $ x_{i_{j}}$ 会因为 $ x_{i_1},\cdots,x_{i_{j-1}},x_{i_{j+1}},\cdots,x_{i_{m}}$的确定而随 之确定.这 显然是矛盾的,因为 $ x_{i_1},\cdots,x_{i_m}$ 是 $ m$ 个坐标,每个坐标都是自 由变化的.可见假设错误,因此 $ g_1,\cdots,g_m$ 函数独立. $ \Box$