欧阳光中等人编写的《数学分析》对函数相关的定义有严重漏洞

像《陶哲轩实分析》这种叙述严格的书读多了,然后去读那些叙述不严格的书,会 感到很不适应.比如,在华罗庚著《高等数学引论》第四册第2.11节,对函数相 关定义如下:

Definition 1 (函数相关(华罗庚)) 考虑 $ n$ 个变量的 $ m$ 个函数

$ {\displaystyle \begin{cases} u_1=u_1(x_1,\cdots,x_n),\\ \vdots\\ u_m=u_n(x_1,\cdots,x_n).\\ \end{cases} \ \ \ \ \ (1)}$

假定这些函数是连续的,而且有一阶连续偏微商,如果有一个非零函数

$ {\displaystyle F(u_1,\cdots,u_m), }$

当把 1 代入此函数时,得到一个对 $ x_1,\cdots,x_n$ 恒等于0 的式子,这 $ m$ 个函数称为函数相关.

在欧阳光中,朱学炎, 金福临,陈传璋编写的《数学分析》第三版下册中,对函数 相关的定义如下:

Definition 2 (函数相关(欧阳光中等)) 设 $ D$ 是 $ \mathbf{R}^n$ 的一个子集.我们来看 $ D$ 上的函 数 $ g:\mathbf{R}^n\rightarrow\mathbf{R}^m$, $ g(\mathbf{x})=\mathbf{y}$,其中 $ \mathbf{x}=(x_1,\cdots,x_n),\mathbf{y}=(y_1,\cdots,y_m)$.将函 数 $ g$写成分量形式 $ (g_1,\cdots,g_m)$,我们就会得到 $ m$ 个函数

$ {\displaystyle \begin{cases} y_1=g_1(x_1,\cdots,x_n)\\ \vdots\\ y_m=g_m(x_1,\cdots,x_n)\\ \end{cases}.}$

如果存在 $ 1\leq i\leq m$,且存在函数 $ G:\mathbf{R}^{m-1}\rightarrow \mathbf{R}$,使得 $ \forall (x_1,\cdots,x_n)\in D$,有 \begin{align*} &g_{i}(x_{1},\cdots,x_{n})=G(g_1(x_1,\cdots,x_n),\cdots,g_{i-1}(x_1,\cdots,x_{n}),g_{i+1}(x_{1},\cdots,x_{n}),\cdots,g_m(x_1,\cdots,x_n)),\end{align*} 则称函数 $ g_1,\cdots,g_m$ 是在 $ D$ 上函数相关 的.

我们发现,如果 $ m$ 个函数是按照欧阳光中的定义函数相关,则这 $ m$ 个函数也 按照华罗庚的定义函数相关.但是如果 $ m$ 个函数按照华罗庚的定义函数相关, 则这 $ m$ 个函数不一定按照欧阳光中的定义函数相关.

因此欧阳光中等人对函数相关的定义比华罗庚的定义更强.我们现在来揭示欧阳 光中等人对函数相关的定义的缺陷.我们发现,按照欧阳光中他们的定义,$ m$ 个 函数无论如何都是函数相关的.比如,当 $ (x_1,\cdots,x_n)=(a_1,\cdots,a_n)$ 时,我们总可以恰当地定义 $ G$,使得 \begin{align*} &g_{i}(a_{1},\cdots,a_{n})=G(g_1(a_1,\cdots,a_n),\cdots,g_{i-1}(a_1,\cdots,a_{n}),g_{i+1}(a_{1},\cdots,a_{n}),\cdots,g_m(a_1,\cdots,a_n)),\end{align*} 所以,欧阳光中的定义是存在严重问题的,所以华罗庚的定义自然也有问题.我查阅了黄玉民,李成章编的《数学分析》 下的第13.6节,以及Martin Moskowitz,Fotios Paliogiannis 著的 Functions Of Several Real Variables的定义3.10.1,才发现,在欧阳光中等人的定义中,函数 $ G:\mathbf{R}^m\rightarrow \mathbf{R}$ 必须加上如下条件:

$ {\displaystyle G\mbox{连续可微且} \nabla G\neq 0. }$

而在华罗庚的定义中,必须加上条件

$ {\displaystyle F\mbox{连续可微且}\nabla F\neq 0. }$