安振平老师的3470号不等式问题的证明

问题 设$a,b,c\geq 0, a+b+c=2$, 求证: $\sum{\sqrt{a^3}(\sqrt{2b^3}+\sqrt{c^3})}\leq 3$.

证明:先证如下的不等式:当$x,y,z\geq 0$时,有$(\sum{x^2})^3\geq 8\sum{y^3z^3}$.　　　　　　　(1)

由Schur不等式可知

$(\sum{x^2})^3-8\sum{y^3z^3}=4\sum{y^2z^2(y-z)^2}+\sum(x^2(x^2-y^2)(x^2-z^2))+3x^2y^2z^2\geq 0$.

故不等式(1)成立.

由已知原不等式等价于

$\sum{\sqrt{b^3c^3}}\leq 1\Leftrightarrow 8\sum{\sqrt{b^3c^3}}\leq (a+b+c)^3$.　　　　　　　　　　　　　　　(2)

令$a=x^2,b=y^2,c=z^2 (x,y,z\geq 0)$, 则不等式(2)即为不等式(1),从而原不等式获证.