安振平老师的4920号不等式问题的证明

题目：设$a,b,c\geq 0$, $ab+bc+ca=1$, 求证：$a\sqrt{1+a^2}+b\sqrt{1+b^2}+c\sqrt{1+c^2}\geq 2.$

证明：作代换$a=\sqrt{\frac{yz}{(x+y+z)x}}$, $b=\sqrt{\frac{zx}{(x+y+z)y}}$, $c=\sqrt{\frac{xy}{(x+y+z)z}}(x,y,z>0)$, 则原不等式可化为

$\sum{\frac{\sqrt{yz (x+y)(x+z)}}{x(x+y+z)}}\geq 2.$

即

$\sum{\frac{\sqrt{yz (x+y)(x+z)}}{x}}\geq 2(x+y+z).$                       (1)

由柯西不等式及AM-GM不等式可得：

$\sum{\frac{\sqrt{yz (x+y)(x+z)}}{x}}\geq \sum{\frac{\sqrt{yz (\sqrt{xy}+\sqrt{xz})^2}}{x}}=\sum{\left(y\sqrt{\frac{z}{x}}+z\sqrt{\frac{y}{x}}\right)}=\sum{x\left(\sqrt{\frac{y}{z}}+\sqrt{\frac{z}{y}}\right)}\geq 2(x+y+z).$

所以不等式(1)成立,故原不等式获证.

用上面的方法做了以后,发现不用代换也可以做.

证明：由已知, 柯西不等式及AM-GM不等式可得

$a\sqrt{1+a^2}+b\sqrt{1+b^2}+c\sqrt{1+c^2}=a\sqrt{(a+b)(a+c)}+b\sqrt{(b+c)(b+a)}+c\sqrt{(c+a)(c+b)}$

$\geq a(\sqrt{ab}+\sqrt{ac})+b(\sqrt{bc}+\sqrt{ba})+c(\sqrt{ca}+\sqrt{cb})$

$=\sqrt{ab}(a+b)+\sqrt{bc}(b+c)+\sqrt{ca}(c+a)\geq 2(ab+bc+ca)=2.$

即原不等式成立.