摘要：
题目:已知$a,b,c>0$,求证:$\frac{a^2}{1+2a^2b}+\frac{b^2}{1+2b^2c}+\frac{c^2}{1+2c^2a}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{1+2abc}.$证明:原不等式等价于$\frac{a^2(1+2a^2b)-2a^4b}{1+ 阅读全文
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题目:已知$a,b>0$,$a+b=2$,求证: $\frac{a}{b+\sqrt{b^2+1}}+\frac{b}{a+\sqrt{a^2+1}}\geq 2(\sqrt{2}-1).$证明:由已知及基本不等式易得:$0<ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}=1,$ (1)又易知:$ 阅读全文
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题目:已知$a,b>0$,$a+b=2$,求证: $(a+\sqrt{b^2+1})(b+\sqrt{a^2+1})\geq 3+2\sqrt{2}.$证明: 不妨设$a\geq b$,令$a=1+x,b=1-x(0\leq x<1$,则原不等式等价于$(1+x+\sqrt{(1-x)^2+1})( 阅读全文
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题目：已知$a,b,c,d>0$,$a^2+b^2+c^2+d^2=4$,求证:$(abc+bcd+cda+dab)(a+b+c+d)-10abcd\leq 6.$ 证明:原不等式等价于$(abc+bcd+cda+dab)(a+b+c+d)-10abcd\leq \frac{3}{8}(a^2+b^ 阅读全文
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题目：已知$a,b,c,d>0$,求证:$(abc+bcd+cda+dab)(a+b+c+d)-4abcd\leq \frac{1}{8}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)(a+b+c+d)^2.$ 证明:原不等式等价于 $2\, \left( a-b \right) ^{2} \left( c 阅读全文
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题目:已知$a,b,c\geq 1$,求证:$1+\frac{2}{1+ab+bc+ca}\leq \frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab}\leq \frac{3}{2}$ 张云华老师指出该不等式右边有误.事实上,该不等式可以修正为 $1 阅读全文
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题目:已知$a,b,c>0$,$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$,求证：$\frac{8}{1+ab+bc+ca}-\frac{3}{a+b+c}\leq 1.$ 证明:由已知可设$a=\frac{x+y+z}{3x},b=\frac{x+y+z}{3y} 阅读全文
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题目:已知$a,b,c\geq 1$, 求证:$\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{c}{c+ab}\leq 1+\frac{2}{1+ab+bc+ca}.$ 证明:原不等式等价于 $2\,abc \left( {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}-ab 阅读全文
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题目：已知$a,b,c>0$，求证：$\frac{ab}{1+\lambda a^2b}+\frac{bc}{1+\lambda b^2c}+\frac{ca}{1+\lambda c^2a}\leq \frac{ab+bc+ca}{1+\lambda abc}.$ 证明：由算术-几何平均不等式可得 阅读全文
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题目：已知$a,b,c>0$,求证：$\frac{a}{1+2b^2c}+\frac{b}{1+2c^2a}+\frac{c}{1+2a^2b}\geq \frac{a+b+c}{1+2abc}.$ 证明:由柯西不等式可得 $\frac{a}{1+2b^2c}+\frac{b}{1+2c^2a}+\ 阅读全文