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摘要:近日读单墫教授的《代数不等式的证明》一书,书中p.19单先生给出了如下的一个配方: $2(a^2+b^2)^2-6a^3b=(a^2-2ab)^2+(a^2-ab-b^2)^2+b^2(a-b)^2.$ 我觉得这个式子稍繁,给出下述的配方: $2(a^2+b^2)^2-6a^3b=2\left[\l 阅读全文
posted @ 2017-10-11 10:14 听竹居士的博客 阅读 (127) 评论 (0) 编辑
摘要:题目 证明:对实数$x,y,z$有$16\sum{x^4}-20\sum{x^3(y+z)}+9\sum{y^2z^2}+25\sum{x^2yz}\geq 0$. 证明:$16\sum{x^4}-20\sum{x^3(y+z)}+9\sum{y^2z^2}+25\sum{x^2yz}=\frac{ 阅读全文
posted @ 2017-02-21 16:29 听竹居士的博客 阅读 (121) 评论 (0) 编辑
摘要:问题 设$a,b,c>0, \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1$,求证: $(a^2-1)(b^2-1)+(b^2-1)(c^2-1)+(c^2-1)(a^2-1)\geq 27$. 证明: 令$\frac{1}{a+1}=x,\frac{1}{b 阅读全文
posted @ 2017-02-20 08:33 听竹居士的博客 阅读 (140) 评论 (0) 编辑
摘要:问题 设$a,b,c\geq 0, a+b+c=2$, 求证: $\sum{\sqrt{a^3}(\sqrt{2b^3}+\sqrt{c^3})}\leq 3$. 证明:先证如下的不等式:当$x,y,z\geq 0$时,有$(\sum{x^2})^3\geq 8\sum{y^3z^3}$. (1) 阅读全文
posted @ 2017-02-19 16:44 听竹居士的博客 阅读 (127) 评论 (0) 编辑
摘要:设$x,y,z$为正实数,且$x\geq y\geq z$, 求证: $\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geq x^2+y^2+z^2$. 证明: 因为$x\geq y\geq z>0$,所以 $\frac{x^2y}{z}+\frac{y^ 阅读全文
posted @ 2017-02-18 19:04 听竹居士的博客 阅读 (88) 评论 (0) 编辑
摘要:试题:设非负实数$a,b,c$满足$a^2+b^2+c^2\geq 3$.证明:$(a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ca)$. 证明:设$t=ab+bc+ca>0$,则由题意 $(a+b+c)^6=(a^2+b^2+c^2+2t)^3\geq (3+2t)^3$, 而$(3+2t)^3-8 阅读全文
posted @ 2016-08-01 08:51 听竹居士的博客 阅读 (64) 评论 (0) 编辑
摘要:设$x+y+z=0$,求证:$6(x^3+y^3+z^3)^2\leq (x^2+y^2+z^2)^3$.证明: 原不等式等价于$27x^2y^2(x+y)^2\leq 4(x^2+xy+y^2)^3$.即$4(x^2+xy+y^2)^3-27x^2y^2(x+y)^2\geq 0$.亦即$(x-y... 阅读全文
posted @ 2014-11-07 10:45 听竹居士的博客 阅读 (77) 评论 (0) 编辑
摘要:近期宋庆老师在【不等式证明中的智巧,中学数学研究(江西),2014年第4期,pp.42-44】中提出如下猜想:猜想1 已知 $a,b,c$ 是满足 $5a+12b+13c=60$ 的非负数, 求证:$5ab+12bc+13ca\leq 180.$证明: 由已知$180-(5ab+12bc+13ca)... 阅读全文
posted @ 2014-04-23 10:01 听竹居士的博客 阅读 (306) 评论 (0) 编辑
摘要:刘老师在其博客(http://9sin9.blog.163.com/blog/static/5727175820092244554210/)中贴了如下有趣的不等式:设点 $P$为$\triangle{ABC}$内部任意一点,则成立不等式:$\frac{a^2R_{1}^2+b^2R_{2}^2+c^2R_{3}^2}{R_{1}R_{2}R_{3}}\geq 2(h_{a}+h_{b}+h_{c}).$等号当且仅当 $\triangle{ABC}$为正三角形且 $P$为其中心时成立。可他说他给出的证明很繁,计算量超大。 阅读全文
posted @ 2014-02-17 17:47 听竹居士的博客 阅读 (110) 评论 (0) 编辑
摘要:《中国数学教育》jcme_g@163.com(高中版)《数学教学》sxjxzz@math.ecnu.edu.cn《中学数学》hbzxsx@126.com(高中)《数学通讯(教师版)》shxtxjsh@yahoo.com.cn《数学通讯(学生版)》shxtxxuesh@163.com《数学传播》media@math.sinica.edu.tw《中学教研(数学)》zxjy@zjnu.cn《河北理科教学研究》hblkjxyj@163.com《中学数学杂志》gaozhong@vip.163.com《中学数学教学》zsjxhf@sina.com 阅读全文
posted @ 2014-02-16 11:02 听竹居士的博客 阅读 (115) 评论 (0) 编辑
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