线性代数学习笔记

内容主要来自《线性代数及其应用》

线性方程组

基本概念：系数矩阵，增广矩阵。

初等行变换：

1. 倍加变换
2. 对换变换
3. 倍乘变换

线性方程组的解只有三种情况：无解，有且仅有一组解，无穷多解。

一个 \(ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\) 的方程实际代表三维空间中的一个平面。有几个自由变量解集就是几维空间（解集存在的情况下）

行化简算法：
本质就是先从上往下把主元所在列下面的元素都变成0，然后从下往上先把主元变成1再往上都变成0。

• 每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵。

• 线性方程组相容的充要条件就是增广矩阵中主元列不是最后一列，也就是没有形如：

\[[0\dots 0\quad b] (b \ne 0) \]

的行。

向量

向量方程 $$x_1\vec{a_1} + x_2\vec{a_2}+\dots x_n\vec{a_n} = \vec{b}$$

的解集等价于增广矩阵

\[\begin{bmatrix} \vec{a_1} \quad \vec{a_2} \quad \dots\quad \vec{a_n} \quad \vec b \end{bmatrix} \]

矩阵方程 Ax = b

我们可以将向量的线性组合视作矩阵与向量的积，即

\[Ax = [\vec{a_1} \quad \vec {a_2} \quad \dots \quad \vec{a_n}] \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = x_1\vec{a_1} + x_2\vec{a_2}+\dots+x_n\vec{a_n}\]

任意线性方程组或者向量方程都可以写成等价的矩阵方程Ax = b形式