简单微积分笔记

不怎么标准严谨。
绝大部分内容来自《烧掉数学书》。

求导

• \[M(x)=x^n \Rightarrow M'(x)=nx^{n-1} \]

• \[M(x)=af(x)\Rightarrow M'(x)=af'(x) \]

• 和差法则 $$M(x)=f(x)+g(x)\Rightarrow f'(x)+g'(x)$$
• 乘积法则 $$M(x)=f(x)g(x)\Rightarrow M(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$
• 链式法则 $$\frac{\mathrm df}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm df}{\mathrm ds}\frac{\mathrm ds}{\mathrm dx}$$ 也即 $$h(x)=f(g(x)) \Rightarrow f'(g(x))g'(x)$$

• \[(\sin x)' = \cos x \]

• \[(\cos x)'=-\sin x \]

• \[(\tan x)'=1+\tan^2 x \]

• 泰勒级数：

\[M(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{M^{(n)}(0)}{n!}x^n \]

• \[\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+... \]

• \[\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+... \]

• 抽象函数四连（排除\(f(x)=0\) ）：$$f(x+y)=f(x)+f(y)\Leftrightarrow f(x)=ax$$ $$f(x+y)=f(x)f(y)\Leftrightarrow f(x)=c^x$$ $$f(xy)=f(x)+f(y)\Leftrightarrow f(x)=\log_a(x)$$ $$f(xy)=f(x)+f(y)\Leftrightarrow f(x)=x^c$$

• \[(e^x)'=e^x \]

• \[e=\lim_{N\rightarrow\infty}\left (1+\frac{1}{N}\right )^N \]

\[e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} \]

其中下面的式子收敛更快一点。

• \[(\ln x)' = \frac{1}{x} \]

• \[(\log_ax)'=\frac{1}{x\ln a} \]

积分

• 微积分基本定理：

1. \[\int_{a}^{b}m(x)\mathrm dx=M(b)-M(a) \]

其中 \(M\) 是导数为 \(m\) 的任意函数。
2. $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_{a}^{x}m(s)\mathrm ds=m(x)$$

• \[\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))\mathrm dx=\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx+\int_{a}^{b}g(x)\mathrm dx \]

• \[\int_a^bkf(x)\mathrm dx=k\int_a^bf(x)\mathrm dx \]

• \[\int_a^bf'(x)g(x)\mathrm dx=[f(x)g(x)]_a^b-\int_a^bf(x)g'(x)\mathrm dx \]

其中 \([f(x)g(x)]_a^b=f(b)g(b)-f(a)g(a)\) 。

• 换元积分法

\[\int_{x=a}^{x=b}m(x)\mathrm dx=\int_{x=a}^{x=b}M(x)\frac{\mathrm dx}{\mathrm ds}\mathrm ds \]

• 对于函数 \(m(x)\) ，它在 \(x=a\) 到 \(x=b\) 之间部分的长度是：

\[\int_a^b\sqrt{1+[m'(x)]^2}\mathrm dx \]

• \[\pi = 4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n + 1} \]