概率与期望

条件概率：

在已知发生A事件的条件下发生B事件的概率记为：\(P(B \mid A)\) 。

有 $$P(B| A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$$
如果不理解，把 \(P(A)\) 乘到左边就知道了。

全概率公式：

一组事件 \(A_1,\dots,A_n\) 两两不交且和为样本空间，那么对于任意事件 \(B\) 有：

\[P(B)=\sum_i^nP(A| B)P(B) \]

Bayes公式：

设可能导致事件 \(B\) 发生的原因为 \(A_1,\dots,A_n\) ，则由事件 \(B\) 发生这一结果反推各原因事件的发生概率：

\[P(A_i|B)=\frac{P(A_iB)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^nP(B|A_j)P(A_j)} \]

期望的线性性质：

\(X, Y\) 为随机变量，\(C\) 为常数。

• \[E(CX) = CE(X) \]

• \[E(X+Y)=E(X)+E(Y) \]

• \[E(C)=C \]

• 当 \(X, Y\) 为相互独立变量时，$$E(XY)=E(X)E(Y)$$
  证一下第二条性质：
  设 \(X\) 的可能取值和对应概率为 \(a_i,p_i\) ，设 \(Y\) 的可能取值和对应概率为 \(b_i, q_i\)

\[\begin{aligned} E(X+Y)&=\sum_i\sum_j(a_i+b_j)p_iq_i\\ &=\sum_i\sum_ja_ip_iq_j+\sum_i\sum_jb_jp_iq_j\\ &=\sum_ia_ip_i\sum_jq_j+\sum_jb_jq_j\sum_ip_i \\ &=\sum_ia_ip_i+\sum_jb_jq_j\\ &=E(X)+E(Y) \end{aligned} \]

也可以感性理解，两个随机变量的和的期望等于两个随机变量期望的和。

期望和概率的互相转化

对于随机事件 \(A\) ，它的示性函数为：

\[I_A(\omega)= \begin{cases} 1, &\omega \in A\\ 0, &\omega \notin A \end{cases} \]

则 \(EI_A = P(A)\) 。