数论函数

数论函数

• 定义：定义域为正整数的函数。
• 积性函数：若数论函数\(f\) 满足 \(\gcd(x, y) = 1\) 则 \(f(xy) = f(x)f(y)\) ，\(f\) 就是一个积性函数。
• 完全积性函数：若\(f(xy) = f(x)f(y)\) ，则 \(f\) 为一个完全积性函数。

若积性函数 \(f(1) \ne 0\) ，则 \(f(1) = 1\) ，容易由定义推得。

狄利克雷卷积：

\[(f*g)(n) = \sum_{d\mid n} f(d)g(\frac{n}{d}) \]

其中 \(f, g\) 是两个数论函数。

狄利克雷卷积基本性质：

• \[f*g=g*f \]

• \[(f*g)*h = f * (g*h) \]

• 单位元：记数论函数 \(\epsilon(n) = [n=1]\) ，对于任意数论函数 \(f\) 有 \(f* \epsilon = f\) 。
• 若 \(f*g=\epsilon\) ，则称 \(f,g\) 互为逆元。积性函数有且只有一个逆元。

莫比乌斯函数

定义：

\[\mu(n) = \left\{ \begin{array}{lcl} 1 &n = 1\\ (-1)^k &k为n的独立质因子个数 \\ 0 &n含有平方因子 \end{array} \right. \]

莫反的三种形式：

1. \[[\gcd(i,j)=1]=\sum_{k\mid i,j}\mu(k) \]

2. \[f(n) = \sum_{n \mid i}g(i) \Leftrightarrow g(n) = \sum_{n \mid i}\mu(\frac{i}{n})f(i) \]

3. \[f(n) = \sum_{i \mid n}g(i) \Leftrightarrow g(n) = \sum_{i \mid n}\mu(\frac{n}{i})f(i) \]