康托展开

康托展开面对的两个问题：

1.在1234所有的全排列中求某一排列是第几个。

2.求第n个排列时怎么样的。

 

1.康托展开

其实想法很简单比如2 3 4 1,rank=0;

i=0时是a[i]=2,后面小的数有1，如果1在第一位肯定是在这个序列前面，然后后面的3个数进行全排类3！，rank+=1*3!

i=1时a[i]=3,后面比小的数有1，选择1在这一位，rank+=1*2！

i=2时a[i]=4,后面小的有1，选择1在这一位，rank+=1*1!

i=3时rank+=0*0!;

最后rank++；原因是如果是1234 rank=0但是是一种；

总结的rank公式如下：rank=a₁*​(n−1)!+a₂*​(n−2)!+⋯+a_n*​0!   (a1-an是比后面比这个数小的个数)

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 100
using namespace std;
int contor(int permutation[],int n){
    int factor[10]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};//阶层
    int i,j,count,rank;
    rank=0;
    for(i=0;i<n;i++){
        count=0;
        for(j=i+1;j<n;j++){
            if(permutation[j]<permutation[i])count++;
        }
        rank+=count*factor[n-i-1];
    }
    return rank+1;
}
int main(){
    int a[N],n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
    cout<<contor(a,n);
    return 0;
} 

 2.逆康托展开

　　公式的rank是从0开始计算的 所有rank- -

　　将字符排序1 2 3 4

• 用 9 / 3! = 1余3，说明a₁=1,说明比首位小的数有1个，所以首位为2。
• 用 3 / 2! = 1余1，说明a₂=1，说明在第二位之后小于第二位的数有1个，所以第二位为3。
• 用 1 / 1! = 1余0，说明a3=1，说明在第三位之后有1个小于第三位的，所以第三位为4。
• 最后一位自然就是剩下的数1啦。
• 通过以上分析，所求排列组合为 2341。

void decontor(int standard[],int n,int rank){
    int i,num,t;
    int factor[10]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};
    vector<int> v;
    vector<int> a;
    rank--;
    sort(standard,standard+n);
    for(i=0;i<n;i++)v.push_back(standard[i]); 
    for(i=0;i<n;i++){
        t=rank/factor[n-i-1];
        rank=rank%factor[n-i-1];
        a.push_back(v[t]);
        v.erase(v.begin()+t);
    }
    for(i=0;i<n;i++)cout<<a[i];
}