AcWing 算法提高课 可持久化

可持久化的前提：数据结构本身的拓扑结构不变

trie、线段树、树状数组、堆等都可持久化

平衡树（一般）需要左旋和右旋，不可持久化 

 

可持久化希望将数据结构的全部修改记录下来（历史版本）

核心思想：只记录每一个版本与前一个版本不一样的地方

1、可持久化Trie

 

 

 

 

 

可以发现，绿线表示同一个点，但是下方的子树有修改（需要裂开），跨版本的蓝线，可以连到没有修改的子树。

每一个版本，只对比和上一个版本不一样的地方

算法流程

 

 

 开辟一个新的根，然后向下遍历时，如果上一个版本已经存在则复制（连出全部跨版本的蓝线）。

tr[q][si]相当于有变化的位置裂开一个新的节点（绿线对应的右侧位置），或者新开辟一个节点 。

例题：https://www.acwing.com/problem/content/258/

可持久化trie维护数字的前缀异或和

 

2、可持久化线段树（主席树）

不能用堆的方式存，要用指针的方式存

 

 

 

注意：可持久化线段树（一般）难以处理懒标记，故难以进行区间修改操作

可持久化线段树由于不用新添加点，（每一个节点在上一个版本已经存在了），比trie好写？

 

 

 

例题：区间第k小数

求数组下标区间内的第k小数

https://www.acwing.com/problem/content/description/257/

线段树表示数值区间中存在的数的个数。

每个版本表示插入第i个数字后的线段树。

然后在线段树上二分，如果在左边可以查到k个以上的数就去左边，否则去右边。