ABC136F - Enclosed Points 题解

首先感觉无从下手？考虑换一个对答案的贡献体（这是个惯用套路）（一开始是点的集合，后来我又想换成矩形，发现仍然不可做，就偏偏没有想到换成点）。

显然，点对答案的贡献就是有多少个集合生成的矩形包含这个点。知道了这个就并不是很难了。我们考虑以该点为原点建立平面直角坐标系，然后集合有两种情况：

1. 包含该点，此时矩形显然一定包含该点，则贡献是 \(2^{n-1}\)；
2. 不包含该点。那么显然，该点被矩形包含当且仅当一、三象限都有点或二、四象限都有点。然后四个象限的点数是个二维数点问题，这是个静态的，于是可以对一维排序来降维，从而使用 BIT 1log 解决。然后你如果把两种都算上去的话，那会有一二三四象限都有点的重复情况，那这是个简单容斥，减一下即可。

也就是，设四个象限的点数分别为 \(I,II,III,IV\) 的话，那么贡献是：

\[\begin{aligned}&2^{n-1}+\\&\!\left(2^{II}-1\right)\!\left(2^{IV}-1\right)\!2^{I}2^{III}+\\&\!\left(2^{I}-1\right)\!\left(2^{III}-1\right)\!2^{II}2^{IV}-\\&\!\left(2^{II}-1\right)\!\left(2^{IV}-1\right)\!\left(2^{I}-1\right)\!\left(2^{III}-1\right)\end{aligned} \]

然后就做完了，复杂度线性对数。

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