关于 exgcd 求得特解的数值范围

upd 12.6：修复了一个伪证的地方（）

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if(!b) return x = 1, y = 0, a;
	int d = exgcd(b, a % b, y, x);
	return y -= a / b * x, d;
}

以前我写 int 的 exgcd，总是怕爆 int 而 #define int long long，因为看上去没有任何证据说明 exgcd 得到的特解绝对值不会很大。以及如果系数是 long long 的话，那甚至不确定要不要开 __int128_t。

事实上，我们可以证明 \(ax + by = \gcd(a, b) = d\) 由 exgcd 解出的特解保证了 \(x\) 绝对值最小。以下设 \(a' = \dfrac a d, b' = \dfrac b d\)。

• 当 \(b = 0\) 时 \(x = 1, y = 0\) 显然满足条件。
• 否则，\(x\) 为所有解中绝对值最小的显然当且仅当 \(|x| \leq \dfrac 1 2 |b'|\)。考虑归纳：\(b \mid a\) 是递归的倒数第二层，当作边界验证，解为 \(x = 0, y = 1\)，此时 \(|x| = 0\) 显然满足条件。对于 \(b \nmid a\)，按照 exgcd 的代码递归到了 \(by_0 + (a \bmod b)x_0 = d\)，得到了使得 \(|y_0|\) 最小的解，有 \(|y_0| \leq \dfrac 1 2 \left|\dfrac{a \bmod b} d\right|\)；而 \(x\) 是直接继承 \(x_0\) 的，所以有 \(x = x_0 = \dfrac{d - by_0}{a \bmod b}\)，那么显然 \(|x| \leq \left|\dfrac d{a \bmod b}\right| + \left|\dfrac{b \cdot \frac 1{2d}(a \bmod b)}{a \bmod b}\right| \leq \left|\dfrac d{a \bmod b}\right| + \left|\dfrac 1 2 b'\right|\)。由于 \(\gcd(a \bmod b, a) = d\)（且 \(a \bmod b \neq 0\)），必定有 \(a \bmod b \geq d\)，于是 \(\left|\dfrac d{a \bmod b}\right| \leq 1\)。此时如果有 \(\mathrm{LHS} < \dfrac 1 2\) 就直接证毕了好吧。由于 \(d \mid a \bmod b\)，现在只要稍微考虑一下 \(=\dfrac 1 2\) 和 \(=1\) 的情况。
  • \(\mathrm{LHS} = 1\)，也就是 \(|d| = |a \bmod b|\)，这显然是倒数第三轮递归，手动模拟得到 \(x = 1\)，而不可能有 \(b' = 0\)（这样一定有 \(b = 0\)，这是最后一层）或 \(b' = \pm1\)（\(|b| = |d| = |a \bmod b|\)，与 \(|a \bmod b| < |b|\) 矛盾），所以 \(|b'| \geq 2\)，也得到 \(|x| \leq \dfrac 1 2 |b'|\)。
  • \(\mathrm{LHS} = \dfrac 1 2\)，那么 \(|d| = \dfrac 1 2 |a \bmod b|\)，即 \(|a \bmod b| = 2|d|\)。从 \(a, b\) 往下手动模拟 exgcd（绝对值相等视为相等）：\(a, b\to b, 2d\)，下一步需要考虑 \(b \bmod 2d\) 等于多少。显然只可能等于 \(0\) 或 \(d\)，如果等于 \(0\) 的话就有 \(\gcd(a, b) = 2d\) 了，矛盾，所以只可能等于 \(d\)。于是 \(\to 2d, d \to d, 0\)，发现这是倒数第四轮。手动模拟得到 \(|x| = \left\lfloor\left|\dfrac{b}{2d}\right|\right\rfloor\)，这不完美了吗，直接证毕了。

那么 \(y\) 的情况呢？注意到当 \(a = b\) 时，exgcd 得到解为 \(x = 0, y = 1\)，不用愁；而 \(a \neq b\) 时，解 \(ax + by = d\) 和 \(by + ax = d\) 中恰好有一个的第一步是 swap(a, b)，这使得两者解得的 \((x, y)\) 相等，所以在 \(|x|\) 取得最小的同时，\(|y|\) 也取得最小。这意味着（除了 \(a\) 或 \(b\) 等于 \(0\) 或者 \(a = b\) 的极端情况）同时有 \(|x| \leq \dfrac 1 2 |b|, |y| \leq \dfrac 1 2 |a|\)，这样不开 long long 都不带怕的。