博弈论的数学语言 - 教程

核心数学符号的分类整理，结合基础定义与示例说明其应用：就是在博弈论中，存在一套标准化的数学符号体系，用于精准定义博弈要素（参与者、策略、收益等）、描述博弈过程及求解均衡（如纳什均衡）。以下

一、基础要素符号（定义博弈“构成”）

符号	含义与定义	示例与说明
$N$	参与者集合（Player Set），通常用$N=\{1,2,\dots ,n\}$表示$n$个参与者。	若为“两人零和博弈”（如石头剪刀布），则$N=\{1,2\}$，代表参与者1和参与者2。
$i\in N$	单个参与者（第$i$个参与者），用于聚焦某一决策主体的策略与收益。	分析“参与者1的最优策略”时，用$i=1$明确研究对象。
$S_i$	参与者$i$的纯策略集合（Pure Strategy Set），包含该参与者所有可选的纯策略。	若参与者1在博弈中有“合作”和“背叛”两种选择，则$S_1=\{\text{合作},\text{背叛}\}$。
$s_i\in S_i$	参与者$i$的一个纯策略（某一具体选择）。	取$s_1=\text{背叛}$，表示参与者1选择“背叛”策略。
$S={\prod }_{i\in N}{S}_i$	博弈的纯策略组合集合（Strategy Profile Set），即所有参与者策略的笛卡尔积，包含所有可能的策略组合。	若$N=\{1,2\}$，$S_1=\{\text{合作},\text{背叛}\}$，$S_2=\{\text{合作},\text{背叛}\}$，则$S=\{(\text{合作},\text{合作}),(\text{合作},\text{背叛}),(\text{背叛},\text{合作}),(\text{背叛},\text{背叛})\}$。
$s=(s_1,s_2,\dots ,s_n)\in S$	一个纯策略组合（某一具体的全局策略选择），其中$s_i$是参与者$i$在该组合中的策略。	$s=(\text{背叛},\text{合作})$表示“参与者1选背叛，参与者2选合作”。
$s_{-i}$	除参与者$i$外所有其他参与者的策略组合，用于固定他人策略、分析$i$的单独决策。	若$s=(s_1,s_2,s_3)$，则$s_{-2}=(s_1,s_3)$（固定参与者1和3的策略，聚焦参与者2的选择）。
$u_i:S\to \mathbb{R}$	参与者$i$的收益函数（Payoff Function），输入为策略组合$s$，输出为该组合下参与者$i$的收益（实数）。	在“囚徒困境”中，若$s=(\text{背叛},\text{背叛})$，则$u_1(s)=u_2(s)=-5$（假设收益为“刑期的负数”，-5代表被判5年）。

二、混合策略与概率符号（扩展策略空间）

当参与者不选择“确定的纯策略”，而是以概率分布随机选择策略时，需引入混合策略符号：

符号	含义与定义	示例与说明
$\Delta (S_i)$	参与者$i$的混合策略集合，即纯策略集合$S_i$上的所有概率分布（概率向量）。	若$S_1=\{s_{11},s_{12}\}$（两个纯策略），则$\Delta (S_1)=\{({\sigma }_1,1-{\sigma }_1)\mid 0\le {\sigma }_1\le 1\}$，其中${\sigma }_1$是选择$s_{11}$的概率，$1-{\sigma }_1$是选择$s_{12}$的概率。
${\sigma }_i\in \Delta (S_i)$	参与者$i$的一个混合策略（概率分布），${\sigma }_i(s_i)$表示参与者$i$选择纯策略$s_i$的概率。	取${\sigma }_1=(0.6,0.4)$，表示参与者1以60%概率选$s_{11}$，40%概率选$s_{12}$。
$\sigma =({\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n)\in {\prod }_{i\in N}\Delta (S_i)$	博弈的混合策略组合。	若${\sigma }_1=(0.6,0.4)$，${\sigma }_2=(0.3,0.7)$，则$\sigma =({\sigma }_1,{\sigma }_2)$是两人博弈的混合策略组合。
$U_i(\sigma )$	参与者$i$在混合策略组合$\sigma$下的期望收益（Expected Payoff），即所有纯策略组合收益的概率加权和。	若$S=\{s_1,s_2,s_3,s_4\}$，则$U_i(\sigma )={\sum }_{s\in S}\left({\prod }_{j\in N}{\sigma }_j(s_j)\right)\cdot u_i(s)$，其中${\prod }_{j\in N}{\sigma }_j(s_j)$是策略组合$s$发生的概率。

三、均衡与解概念符号（描述博弈“最优结果”）

博弈论的核心是求解“均衡”（如纳什均衡），需用符号严格定义均衡条件：

符号与定义	含义与应用场景
纯策略纳什均衡（Pure Strategy Nash Equilibrium） 若对所有$i\in N$，对所有$s_i^{\prime }\in S_i$，都有： $u_i(s_i,s_{-i})\ge u_i(s_i^{\prime },s_{-i})$， 则称$s=(s_1,\dots ,s_n)$是纯策略纳什均衡。	含义：在均衡策略组合$s$中，没有参与者能借助单方面改变自己的纯策略来提高自身收益。 应用：如“囚徒困境”中的$(\text{背叛},\text{背叛})$，满足$u_1(\text{背叛},\text{背叛})\ge u_1(\text{合作},\text{背叛})$且$u_2(\text{背叛},\text{背叛})\ge u_2(\text{背叛},\text{合作})$。
混合策略纳什均衡（Mixed Strategy Nash Equilibrium） 若对所有$i\in N$，对所有$s_i^{\prime }\in S_i$，都有： $U_i({\sigma }_i,{\sigma }_{-i})\ge U_i(s_i^{\prime },{\sigma }_{-i})$， 则称$\sigma =({\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n)$是混合策略纳什均衡。	含义：在均衡混合策略组合$\sigma$中，没有参与者能经过单方面改变自己的混合策略（或切换到某一纯策略）来提高自身期望收益。 应用：如“石头剪刀布”的均衡，参与者均以$(1/3,1/3,1/3)$的概率选择三种策略，此时任何单方面改变概率的行为都不会提高期望收益（期望收益始终为0）。
子博弈完美纳什均衡（Subgame Perfect Nash Equilibrium, SPNE） （需结合扩展式博弈的“子博弈”定义，符号上常用“在所有子博弈中满足纳什均衡”描述）	含义：排除“不可信威胁”的纳什均衡，要求均衡策略在每一个子博弈中都构成纳什均衡。 应用：如“连锁店博弈”“动态议价博弈”，需用逆向归纳法求解，符号上通过“子博弈的策略组合满足均衡条件”来定义。

四、符号体系的核心作用

1. 精准性：避免自然语言的歧义（如“策略”在符号中明确分为$S_i$（集合）、$s_i$（单个策略）、$s$（策略组合））；
2. 通用性：无论博弈类型（静态/动态、单人/多人、零和/非零和），均可通过这套符号统一描述；
3. 可计算性：基于符号定义的收益函数$u_i$、期望收益$U_i$，可通过数学工具（如优化、线性代数）求解均衡（如混合策略纳什均衡可依据“对手策略使自身各纯策略期望收益相等”列方程求解）。

例如，在之前的“格子擦除”单人博弈中，若用符号描述：

• 参与者$N=\{1\}$（仅一个决策者）；
• 每个黑色格子的策略集$S_1=\{s_{\text{擦除}},s_{\text{不擦除}}\}$；
• 收益函数$u_1(s)=-\text{操作次数}$（负号将“最小化执行次数”转化为“最大化收益”，符合博弈论常规设定）；
• 纳什均衡即满足${\max }_{s\in S}{u}_1(s)$的策略组合$s^{\ast }$，对应“最小执行次数”的最优策略。