2024年CSP-X复赛真题题解（T2：消灭怪兽） - 实践

2024年CSP-X复赛真题题解（T2：消灭怪兽）

题目描述

怪兽入侵了地球！

为了抵抗入侵，人类设计出了按顺序排列好的 $n$ 件武器，其中第 $i$ 件武器的攻击力为 $a_i$，可以造成 $a_i$ 的伤害。

武器已经排列好了，因此不能改变顺序。某件武器可以单独攻击，也可以与相邻的武器进行组合攻击。具体来说，每次你可以把相邻的若干个（可以为 $1$ 个，即不进行组合）连续的武器组合起来进行攻击，则攻击力为这些连续的武器攻击力之和。

来自外星的怪兽拥有无敌护盾，不会受到任何伤害。

但是人类在交战过程中发现怪兽有个致命的弱点：每次当受到 $k$ 或 $k$ 的倍数的伤害时，怪兽的无敌护盾就能被打破。

请你帮助人类求出有多少种组合武器的方案，使得造成的伤害能打破怪兽的无敌护盾。

输入格式

第一行两个正整数 $n,k$ 如题所述；

第二行为 $n$ 个正整数，其中第 $i$ 个数 $a_i$ 表示第 $i$ 件武器的攻击力。

输出格式

一行一个整数表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 3
1 2 3 4 5

输出 #1

7

输入输出样例 #2

输入 #2

10 11
1 4 8 10 16 19 21 25 30 43

输出 #2

7

输入输出样例 #3

输入 #3

6 2
2 2 2 2 2 2

输出 #3

21

说明/提示

样例解释

样例 $1$ 解释：

$k=3$，而区间 $[1,2].[1,3],[1,5],[2,4],[3,3],[3,5],[4,5]$ 的区间和均为 $3$ 或 $3$ 的倍数，故一共有 $7$ 种方案。

数据范围

对于 $20\%$ 的数据，满足 $1\le n,k\le 100$。

对于 $40\%$ 的数据，满足 $1\le n,k\le 10^4,1\le a_i\le k$。

对于另外 $10\%$ 的数据，满足 $k=2$。

对于另外 $10\%$ 的数据，满足所有的 $a_i$ 均相等。

对于 $100\%$ 的数据，满足 $1\le n\le 10^6,2\le k\le 10^6,1\le a_i\le 10^9$。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  const int N = 1e6 + 10;
  long long n, k, a[N], sum[N], cnt[N], ans;
  int main() {
  cin >> n >> k;
  // 初始化：前缀和为0（即没有选择任何元素时）模k余数为0，出现1次
  // 这表示从第一个元素开始的区间也可以被统计到
  cnt[0] = 1;
  for(int i = 1; i <= n; i++) {
  cin >> a[i];
  // 计算前缀和：sum[i] = a[1] + a[2] + ... + a[i]
  sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
  // 计算前缀和模k的余数
  long long r = sum[i] % k;
  // 关键步骤：如果之前有cnt[r]个前缀和与当前前缀和模k同余，
  // 那么这些位置到当前位置的区间和都是k的倍数
  // 因为 sum[j] - sum[i] ≡ 0 (mod k)
  ans += cnt[r];
  // 更新余数r的出现次数
  cnt[r]++;
  }
  cout << ans;
  return 0;
  }

核心思路：

1. 计算前缀和数组 sum[i] 表示前i个元素的和
2. 利用同余定理：如果两个前缀和 sum[i] 和 sum[j] 模k的余数相同，那么区间 [i+1, j] 的和就是k的倍数
3. 使用计数数组 cnt 记录每个余数出现的次数
4. 对于每个位置，查看之前有多少个前缀和与当前前缀和模k同余，这些对应的区间都是满足条件的

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9、广度优先搜索
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11、栈和队列专题
12、树和图专题