磁共振成像原理（理论）7：射频回波 (RF Echoes)-双脉冲回波 - 教程

我们将讨论另一种形式的磁共振信号，称为回波 (echo)。回波信号与自由感应衰减（FID）信号的一个区别特征在于其“双侧性 (two-sidedness)”：

1. 回波信号的一侧源于横向磁化矢量的重聚焦相位 (Rephase)，另一侧则源于去相位周期(Dephase)。于是回波信号会先变大，在减少
2. 自由感应衰减信号只有去相位周期(Dephase)，所以信号在一开始最大，后面一直在减少。

回波信号既可以借助多个射频脉冲产生，也可以通过磁场梯度反转产生。前者产生的信号称为射频回波 (RF echoes)​，后者产生的则称为梯度回波 (gradient echoes)​。本节关键描述射频回波。

双脉冲回波 (Two-Pulse Echo)​**​

一个180°脉冲。此激发方案表示为：就是产生射频回波至少需要两个脉冲。我们从一个简单的双脉冲激发方案开始，该方案包含一个90°脉冲，随后是一个时间延迟 τ，接着再
$$90^{\circ }-\tau -180^{\circ }\text{\hspace{1em}(4.19)}$$

由此产生的回波信号称为自旋回波 (Spin Echo, SE)​。

为了直观地理解自旋回波是如何形成的，我们跟踪所施加脉冲的作用以及横向磁化矢量的演化过程。为简化起见，我们假设90°脉冲沿$x^{\prime }$轴施加，180°脉冲沿$y^{\prime }$轴施加，并且进一步假设样品在旋转坐标系中有两个进动频率分别为${\omega }_s$(慢) 和 ${\omega }_f$​(快) 的等色团 (isochromats)。在离共振效应(或失谐)可忽略的条件下

• $90_{x^{\prime }}°$脉冲将两个磁化矢量都旋转到$y^{\prime }$轴上，如下图 a 所示。
• 脉冲结束后，这些矢量围绕 z 轴进动。由于一个($f$)比另一个($s$)进动得相对更快（顺时针），随着自由进动的继续，它们逐渐失去相位一致性。经过时间间隔$\tau$后，两个矢量在横向平面上散开一个相位角$({\omega }_f-{\omega }_s)\tau$，如下图 b 所示
• $180_{y^{\prime }}°$脉冲将两个矢量翻转到横向平面的另一侧，如下图 c 所示
• 脉冲结束后，较快的矢量($f$)现在落后于较慢($s$)的矢量，其落后的相位角与180°脉冲前它领先的相位角相同。由于两个矢量将继续以角频率${\omega }_f$和 ${\omega }_s$顺时针进动（假设磁场不均匀性是时不变的），较快的等色团($f$)将在时间间隔$\tau$后“追上”较慢的等色团($s$)，从而在时间$t=2\tau$时在两个矢量之间重建相位一致性，如下图 d 所示

尽管上图仅展示了两组等色团的重聚相位 (rephasing) 过程，但该分析可推广至任意数量的等色团。实际上，由于真实样品中存在大量等色团，在施加$180_{y^{\prime }}°$​脉冲的 $t=\tau$时刻，去相位 (dephasing，或说失相)已经使得横向磁化矢量$M_{x^{\prime }{y}^{\prime }}$完全消失，因而 FID 信号在$t=\tau$ 时消失。在 $180_{y^{\prime }}°$脉冲之后，$M_{x^{\prime }{y}^{\prime }}$逐渐增长并在$t=2\tau$时达到最大值，如下图所示。

值得注意的是，上图展示了两个弛豫时间，分别是$T_2$和$T_2^{\ast }$，看得出来后者小于前者。基于之前的分析可知，$T_2$是因为原子核之间的相互影响（自旋-晶格、自旋-自旋相互作用）造成的，此影响是随机的，不可恢复的；$T_2^{\ast }$则是因为$B_0$的不均匀造成的，此影响是工艺造成的，短时间内不随时间变化，是确定性的，可恢复的。再进一步观察，即使 脉冲使得相位开始重聚，只是因为原子核之间互相影响造成的失相是不可恢复的，所以在 $t=2\tau$探测信号即使达到峰值，该峰值相较于$t=0$时刻，仍有$e^{-2\tau /T_2}$的衰减（$T_2$弛豫）。

如果大家忽略$T_2$弛豫，那么在$180_{y^{\prime }}°$​脉冲之前的自由进动期间导致等色团间相位一致性丢失的机制，与脉冲后导致相位一致性恢复的机制是相同的。因此，$M_{x^{\prime }{y}^{\prime }}$作为时间的函数具有对称特性：
$$|M_{x^{\prime }{y}^{\prime }}(\tau -t)|=|M_{x^{\prime }{y}^{\prime }}(\tau +t)|0\le t\le \tau (4.20)$$
该公式表明，横向磁化矢量的大小$|M_{x^{\prime }{y}^{\prime }}(t)|$ 在时间点 $t=\tau$ 处具有镜像对称性。即在 $t=\tau$ 之前某时刻 $(\tau -t)$的信号幅度，与之后相同时刻$(\tau +t)$的信号幅度相等。由于横向磁化矢量$M_{x^{\prime }{y}^{\prime }}$ 在 $t=\tau$ 时因失相而完全消失，其在$t>\tau$时的“重生”是180°脉冲重聚焦能力的结果。因此，$t>\tau$ 时的 $M_{x^{\prime }{y}^{\prime }}(t)$ 通常被称为被重新召集的（重聚的）横向磁化。其中，重聚部分 ($\tau <t<2\tau$) 负责回波信号的一侧，而随后的失相部分 ($t>2\tau$) 则负责回波信号的另一侧。

推导背景：
在 $90^{\circ }-\tau -180^{\circ }$脉冲序列中，$t=\tau$ 时刻（即 $180^{\circ }$脉冲施加的时刻），由于失相，横向磁化$M_{x^{\prime }{y}^{\prime }}$ 完全消失。$t>\tau$时段信号的“重生”是$180^{\circ }$脉冲重聚焦能力的结果。因此，$t>\tau$ 时段的 $M_{x^{\prime }{y}^{\prime }}(t)$ 常被称为 “被重新召集的（重聚焦的）横向磁化”。其中，重聚焦部分 ($\tau <t<2\tau$) 负责回波信号的一侧，随后的失相部分 ($t>2\tau$) 负责另一侧。

为了更一般化地推导回波信号，我们考虑以下双脉冲序列。其中${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$是两个任意角度的射频脉冲，$\tau$是时间间隔。
$${\alpha }_1-\tau -{\alpha }_2\text{\hspace{1em}(4.21)}$$

假设这两个脉冲都是$y^{\prime }$方向的，在开始正式的分析前，我们先来回顾${\alpha }_{y^{\prime }}$ 脉冲和时间 $\tau$对宏观磁化分量的影响，首先是脉冲${\alpha }_{y^{\prime }}$前后的转换：
$$\left[\begin{array}{c}{M}_{x^{\prime }}\\ M_{y^{\prime }}\\ M_{z^{\prime }}\end{array}\right]\stackrel{{\alpha }_{y^{\prime }}}{⟶}\left[\begin{array}{c}{M}_{x^{\prime }}\cos \alpha -M_{z^{\prime }}\sin \alpha \\ M_{y^{\prime }}\\ M_{x^{\prime }}\sin \alpha +M_{z^{\prime }}\cos \alpha \end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4.22)}$$

此矩阵变换描述了在旋转坐标系中，一个沿$y^{\prime }$轴施加、翻转角为$\alpha$的射频脉冲对磁化矢量各分量$(M_{x^{\prime }},M_{y^{\prime }},M_{z^{\prime }})$的影响。该脉冲会混合$x^{\prime }$ 和 $z^{\prime }$ 分量，而 $y^{\prime }$分量保持不变。

下面的公式描述了磁化矢量在时间间隔$\tau$ 内的演化
$$\left[\begin{array}{c}{M}_{x^{\prime }}\\ M_{y^{\prime }}\\ M_{z^{\prime }}\end{array}\right]\stackrel{\tau }{⟶}\left[\begin{array}{c}(M_{x^{\prime }}\cos \omega \tau +M_{y^{\prime }}\sin \omega \tau )e^{-\tau /T_2}\\ (-M_{x^{\prime }}\sin \omega \tau +M_{y^{\prime }}\cos \omega \tau )e^{-\tau /T_2}\\ M_z^0(1-e^{-\tau /T_1})+M_{z^{\prime }}{e}^{-\tau /T_1}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4.23)}$$

• 横向分量 ($M_{x^{\prime }},M_{y^{\prime }}$)：以频率 $\omega$在横向平面内进动（$\cos \omega \tau$ 和 $\sin \omega \tau$项），同时其幅度以时间常数$T_2$指数衰减 ($e^{-\tau /T_2}$)。
• 纵向分量 ($M_{z^{\prime }}$)：以时间常数$T_1$弛豫恢复至其热平衡值$M_z^0$。

正式开始分析双脉冲序列，考虑一个频率为$\omega$的任意等色团，初始处于热平衡状态（只有$M_z^0(\omega )$）。在施加 ${\alpha }_{1,y^{\prime }}$脉冲后瞬间，其磁化分量为：
$$\begin{array}{rl}{M}_{x^{\prime }}(\omega ,0_{+})& =-M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1\\ M_{y^{\prime }}(\omega ,0_{+})& =0\\ M_{z^{\prime }}(\omega ,0_{+})& =M_z^0(\omega )\cos {\alpha }_1\end{array}$$

经过 $\tau$延迟后，磁化分量演化为：
$$\begin{array}{rl}{M}_{x^{\prime }}(\omega ,\tau )& =-M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1\cos \omega \tau e^{-\tau /T_2}\\ M_{y^{\prime }}(\omega ,\tau )& =M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1\sin \omega \tau e^{-\tau /T_2}\\ M_{z^{\prime }}(\omega ,\tau )& =M_z^0(\omega )[1-e^{-\tau /T_1}]+M_z^0(\omega )\cos {\alpha }_1{e}^{-\tau /T_1}\\ & =M_z^0(\omega )[1-(1-\cos {\alpha }_1)e^{-\tau /T_1}]\end{array}\text{\hspace{1em}(4.24a)(4.24b)(4.24c)}$$

推导解释：

• 将初始热平衡值$(0,0,M_z^0)$代入脉冲变换公式 (4.22)，得到$0_{+}$ 时刻的值。
• 再将 $0_{+}$时刻的值代入自由演化公式 (4.23)，并经过代数整理，得到$\tau$时刻的各分量表达式。
• (4.24c) 中的简化展示了纵向弛豫的最终表达式，它由两部分组成：从零恢复的部分 ($1-e^{-\tau /T_1}$) 和从初始值$M_z^0\cos {\alpha }_1$衰减的部分($e^{-\tau /T_1}$) 。

${\alpha }_2$ 脉冲对 $y^{\prime }$分量没有影响，但将$\tau$ 时刻的 $x^{\prime }$ 和 $z^{\prime }$分量变换为以下新值：
$$\begin{array}{rl}{M}_{x^{\prime }}(\omega ,{\tau }_{+})& =-M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1\cos {\alpha }_2\cos \omega \tau e^{-\tau /T_2}\\ & -M_z^0(\omega )[1-(1-\cos {\alpha }_1)e^{-\tau /T_1}]\sin {\alpha }_2\\ M_{z^{\prime }}(\omega ,{\tau }_{+})& =M_z^0(\omega )[1-(1-\cos {\alpha }_1)e^{-\tau /T_1}]\cos {\alpha }_2\\ & -M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1\sin {\alpha }_2\cos \omega \tau e^{-\tau /T_2}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.25a)(4.25b)}$$
将 $\tau$时刻的磁化矢量$[M_{x^{\prime }}(\tau ),M_{y^{\prime }}(\tau ),M_{z^{\prime }}(\tau )]$作为公式 (4.22) 的输入，施加${\alpha }_{y^{\prime }}$ 脉冲（此处 $\alpha ={\alpha }_2$），即可得到这些表达式。$M_{y^{\prime }}$分量的变换未列出，基于${\alpha }_{y^{\prime }}$脉冲对齐没有影响

凭借三角恒等式$\cos {\alpha }_2={\cos }^2\frac{{\alpha }_2}{2}-{\sin }^2\frac{{\alpha }_2}{2}$，对 (4.25a) 的第一项进行了代数变形，${\tau }_{+}$ 时刻的 $x^{\prime }$分量可以重写为：
$$\begin{array}{rl}{M}_{x^{\prime }}(\omega ,{\tau }_{+})& =-M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\cos }^2\frac{{\alpha }_2}{2}\cos \omega \tau e^{-\tau /T_2}\\ & +M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\sin }^2\frac{{\alpha }_2}{2}\cos \omega \tau e^{-\tau /T_2}\\ & -M_z^0(\omega )[1-(1-\cos {\alpha }_1)e^{-\tau /T_1}]\sin {\alpha }_2\end{array}\text{\hspace{1em}(4.26)}$$
利用 $1={\cos }^2\frac{{\alpha }_2}{2}+{\sin }^2\frac{{\alpha }_2}{2}$对 (4.24b) 的第一项进行了代数变形，${\tau }_{+}$ 时刻的 $y^{\prime }$通过分量能够重写为：
$$\begin{array}{rl}{M}_{y^{\prime }}(\omega ,{\tau }_{+})& =M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\cos }^2\frac{{\alpha }_2}{2}\sin \omega \tau e^{-\tau /T_2}\\ & +M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\sin }^2\frac{{\alpha }_2}{2}\sin \omega \tau e^{-\tau /T_2}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.27)}$$

将 ${\tau }_{+}$ 时刻的 $x^{\prime }$ 和 $y^{\prime }$磁化分量组合成了复横向磁化矢量$M_{x^{\prime }{y}^{\prime }}=M_{x^{\prime }}+i{M}_{y^{\prime }}$的紧凑形式（此处的$\omega \tau$是顺时针和$x^{\prime }$的角度，而欧拉公式的角度是逆时针和$x^{\prime }$的角度）：
$$\begin{array}{rl}{M}_{x^{\prime }{y}^{\prime }}(\omega ,{\tau }_{+})=& M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1\left({\sin }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{e}^{-i\omega \tau }-{\cos }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{e}^{i\omega \tau }\right)e^{-\tau /T_2}\\ & -M_z^0(\omega )[1-(1-\cos {\alpha }_1)e^{-\tau /T_1}]\sin {\alpha }_2\end{array}\text{\hspace{1em}(4.28)}$$

第一项 (横向部分): $M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1\left({\sin }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{e}^{-i\omega \tau }-{\cos }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{e}^{i\omega \tau }\right)e^{-\tau /T_2}$

• 该项包含了由前两个脉冲产生的横向磁化，其演化与频率$\omega$ 和 $T_2$ 弛豫相关。
  第二项 (纵向衍生部分): $-M_z^0(\omega )[1-(1-\cos {\alpha }_1)e^{-\tau /T_1}]\sin {\alpha }_2$
• 该项源于第二个脉冲 (${\alpha }_2$) 作用于 $\tau$时刻的纵向磁化$M_{z^{\prime }}(\omega ,\tau )$。这部分磁化在脉冲前是纵向的，脉冲后其一部分被扳倒到横向平面，但其相位与频率$\omega$无关。

下面的公式描述了第二个脉冲之后 ($t>\tau$)，复横向磁化矢量在旋转坐标系中的自由进动和弛豫演化。
$$\begin{array}{rl}{M}_{x^{\prime }{y}^{\prime }}(\omega ,t)& =M_{x^{\prime }{y}^{\prime }}(\omega ,{\tau }_{+})e^{-(t-\tau )/T_2}{e}^{-i\omega (t-\tau )}\\ & =M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1\left(-{\cos }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{e}^{-i\omega \tau }+{\sin }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{e}^{i\omega \tau }\right)e^{-t/T_2}{e}^{-i\omega (t-\tau )}\\ & -M_z^0(\omega )[1-(1-\cos {\alpha }_1)e^{-\tau /T_1}]\sin {\alpha }_2{e}^{-(t-\tau )/T_2}{e}^{-i\omega (t-\tau )}\\ & =M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\sin }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{e}^{-t/T_2}{e}^{-i\omega (t-2\tau )}\\ & -M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\cos }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{e}^{-t/T_2}{e}^{-i\omega t}\\ & -M_z^0(\omega )[1-(1-\cos {\alpha }_1)e^{-\tau /T_1}]\sin {\alpha }_2{e}^{-(t-\tau )/T_2}{e}^{-i\omega (t-\tau )}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.29)}$$
第一行 (通用演化公式):
$M_{x^{\prime }{y}^{\prime }}(\omega ,t)=M_{x^{\prime }{y}^{\prime }}(\omega ,{\tau }_{+})e^{-(t-\tau )/T_2}{e}^{-i\omega (t-\tau )}$
- 这是旋转坐标系中磁化矢量演化的标准形式：幅度以$T_2$时间常数指数衰减 ($e^{-(t-\tau )/T_2}$)，同时以频率$\omega$ 绕 $z^{\prime }$轴进动 ($e^{-i\omega (t-\tau )}$)。
后续行 (展开式):
将公式 (4.28) 代入第一行的通用公式，并进行代数展开和整理，得到三项。

仔细的查看这三项，他们都适用于 ($t>\tau$)：
第一项：$M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\sin }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{e}^{-t/T_2}{e}^{-i\omega (t-2\tau )}$：涵盖相位因子$e^{-i\omega (t-2\tau )}$。当 $t=2\tau$时，此因子变为$e^0=1$，意味着所有频率成分的相位在该时刻都会重新回到0相位，这标志着回波的形成，这个过程就是相位重聚。

第二项：$-M_z^0(\omega )\sin {\alpha }_1{\cos }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{e}^{-t/T_2}{e}^{-i\omega t}$：包含相位因子${}^{-i\omega t}$，不同频率成分会有不同的相位。当这些不同频率横向宏观磁化矢量成分叠加后，因为相位的不一致而快速减弱。

第三项：$-M_z^0(\omega )[1-(1-\cos {\alpha }_1)e^{-\tau /T_1}]\sin {\alpha }_2{e}^{-(t-\tau )/T_2}{e}^{-i\omega (t-\tau )}$：包含相位因子$e^{-i\omega (t-\tau )}$，不同频率成分会有不同的相位。当这些不同频率横向宏观磁化矢量成分叠加后，因为相位的不一致而高效减弱。

对一个存在频谱分布的系统而言，第二项和第三项都是一个纯失相项，而第一项在逐渐的聚相。在当$t=2\tau$时，该项产生了一个回波信号，它可以被表达为：
$$S(t)=\sin {\alpha }_1{\sin }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{\int }_{-\infty }^{\infty }\rho (\omega )e^{-t/T_2(\omega )}{e}^{-i\omega (t-T_E)}d\omega ,when|t-T_E|\le T_{acq}/2\text{\hspace{1em}(4.30)}$$
其中：

• $T_E=2\tau$，是回波的峰值发生的时刻
• $T_{acq}$，是数据采样间隔，表示信号在回波峰附近的一个时间窗口（信息采集间隔）内被记录
• $\rho (\omega )$: 质子密度谱，表示不同进动频率的质子分布。
• $e^{-t/T_2(\omega )}$: $T_2$ 弛豫衰减因子，导致信号随时间指数衰减。
• $e^{-i\omega (t-T_E)}$: 相位演化因子。当 $t=T_E=2\tau$时，此项为 1，所有频率成分同相位，信号达到最大值（回波峰）。

回波时间$t=T_E$时刻测得的回波峰值振幅$A_E$为
$$A_E=\sin {\alpha }_1{\sin }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{\int }_{-\infty }^{\infty }\rho (\omega )e^{-T_E/T_2(\omega )}d\omega \text{\hspace{1em}(4.31)}$$

假设 $T_2$与空间位置（进而与频率$\omega$）无关，上式许可进一步简化为
$$A_E=M_z^0\sin {\alpha }_1{\sin }^2\frac{{\alpha }_2}{2}{e}^{-T_E/T_2}\text{\hspace{1em}(4.32)}$$
当 ${\alpha }_1=90^{\circ }$ 和 ${\alpha }_2=180^{\circ }$ 时，$\sin {\alpha }_1{\sin }^2\frac{{\alpha }_2}{2}=1\ast 1=1$，得到最大可能的回波振幅$A_E^{max}=M_z^0{e}^{-T_E/T_2}$。这仍比初始 FID 的最大值 () 小 倍，原因是$T_2$弛豫（随机波动）不可逆，无法被重聚焦脉冲恢复。

同时，回波振幅$A_E$ 随回波时间 $T_E$呈指数衰减，衰减时间常数为$T_2$。这就是$T_2$加权**的数学来源。