P11870 [威海市赛2024] 找数

P11870 [威海市赛2024] 找数

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题目描述

喂喂喂？在不在？小威给你下发了一个任务：

给定 \(n\) 和 \(m\)，从 \(1 \sim n\) 中随意挑出 \(m\) 个数，之后对选出的数排序，称为 \(p\)。

小威想知道，排序后的序列 \(p\) 中，奇数位全为奇数，偶数位全为偶数的方案数，对 \(998\ 244\ 353\) 取模。

很不巧，你在他问"在不在？"的时候就回复他了。这下不得不帮他解决问题了 😦

输入格式

一行两个整数 \(n, m\)，含义如上所述。

对于所有数据，满足：\(1 \leq m \leq n \leq 10^6\)。

输出格式

输出一个整数，表示合法方案数对 \(998\ 244\ 353\) 取模后的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

2 1

输出 #1

1

输入输出样例 #2

输入 #2

4 2

输出 #2

3

输入输出样例 #3

输入 #3

8 5

输出 #3

6

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---

题解：

前置知识：组合数学，快速幂，线性求逆元（不必要）

题意

在一个排列 \(n\) 中，找出长为 \(m\) 的上升子序列 \(p\)，使得 \(p\) 内的每个数与下标奇偶性相同，即 \(p_i\bmod 2=i\bmod 2\)。

思路

一开始拿到这个题以为是个容斥，选出所有的奇偶性满足条件的再减去有逆序对的，但是感觉不合法序列不算很简单，所以只写了前面的
（我没写不合法，等待大佬）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,m;
const int mod=998244353;
int c(int a,int b){
	int jca=1,jcb=1,jcab=1;
	for(int i=2;i<=a;i++){
		if(i<=b)jcb=(jcb*i)%mod;
		if(i<=(a-b))jcab=(jcab*i)%mod;
		jca=(jca*i)%mod;
	}
	return jca/jcb/jcab;
}
int ans;
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	ans=c((n+1)>>1,(m+1)>>1)*c((n+1)>>1,m>>1)%mod
	cout<<ans;
	return 0;
}

又神游想了两分钟，感觉可以转化：

正解：

对于 \(p\) 中每个数，我们把它加上他的下标，成为 \(p_i+i,i\in[1,m]\)，最大的数就是当 \(p_n=n,i=m\) 时即为 \(n+m\)，同理最小值是 \(1+1=2\)，此时值域为 \([2,n+m]\)，由于序列值和下标奇偶性相同，所以其和一定为偶数，因此我们只需要找区间 \([2,n+m]\) 中的偶数就好了。
易得，区间 \([2,n+m]\) 中偶数的个数为 \(\lfloor\frac{n+m}{2}\rfloor\)。然后问题就转化成了从 \(\lfloor\frac{n+m}{2}\rfloor\) 个偶数里面选择 \(m\) 个偶数，答案就非常简单了，是 \(C_{\lfloor\frac{n+m}{2}\rfloor}^m\)。由于只有一次询问，所以这里可以不写线性求逆。
如果你还是看不懂,我们考虑这样一组数据：
5 3
此时原序列为：1 2 3 4 5
比方说我们选取 \(1、2、5\)，此时进行上述操作，变成：\(1+1,2+2,5+3=2,4,8\)。同样的，当选择 \(1 4 5\) 或者 \(3 4 5\) 时，操作后也都在 \(\{2,4,6,8\}\) 这四个数字之间。
也就是说，我们的问题就是从 \(\{2,4,6,8\}\) 中取出三个偶数。结论如上文。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long//禁忌大法
int n,m;
const int mod=998244353;
int qpow(int a,int b){//快速幂，后面逆元用
	int cnt=1;
	while(b){
		if(b&1)cnt=cnt*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return cnt%mod;
}
int c(int a,int b){
	int jca=1,jcb=1,jcab=1;
//a的阶乘、b的阶乘、（a-b）的阶乘
	for(int i=2;i<=a;i++){
		if(i<=b)jcb=(jcb*i)%mod;
		if(i<=(a-b))jcab=(jcab*i)%mod;
		jca=(jca*i)%mod;
	}
	return (jca*qpow(jcb,mod-2))%mod*qpow(jcab,mod-2)%mod;//组合数，除法的时候要逆元
}
int ans;
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	ans=c((n+m)>>1,m);
	cout<<ans;
	return 0;//好习惯
}
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