B4220 [常州市赛 2023] 洗牌

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题目背景

搬运自 http://czoj.com.cn/p/677。数据为民间数据。

题目描述

小 X 有 \(n\) 张标有数字的纸牌，第 \(i\) 张纸牌上面的数是 \(a_i\)，现在小 X 想通过洗牌打乱它们的顺序。

对于一个洗牌后的顺序，小 X 觉得相邻两张纸牌上数的差的绝对值之和越大，牌就洗的 越乱。

举个例子：现在有 \(4\) 张纸牌，纸牌上的数依次为 \([1,2,3,4]\)。

假设洗完牌后，纸牌上的数依次 \([4,3,2,1]\)，相邻两张纸牌上数的差的绝对值之和为 \(\left|4-3\right|+\left|3-2\right|+\left|2-1\right|=1+1+1=3\)。

假设洗完牌后，纸牌上的数依次 \([2,4,1,3]\)，相邻两张纸牌上数的差的绝对值之和为 \(\left|4-2\right|+\left|4-1\right|+\left|3-1\right|=2+3+2=7\)。

那么小 X 就会觉得 \([2,4,1,3]\) 的顺序比 \([4,3,2,1]\) 更乱。

小 X 想要问问你，对于所有顺序，相邻两张纸牌上数的差的绝对值之和最大能是多少。

输入格式

第一行 \(1\) 个正整数 \(n\)，表示纸牌的张数。 第二行 \(n\) 个正整数 \(a_i\)，表示第 \(i\) 张纸牌上的数。注意具有相同数字的纸牌可能有多张。

输出格式

输出一行一个整数，表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

4 
1 2 3 4

输出 #1

7

输入输出样例 #2

输入 #2

5
1 2 3 4 5

输出 #2

11

输入输出样例 #3

输入 #3

10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

输出 #3

49

说明/提示

本题共有 \(11\) 个测试点。

保证当测试点编号是偶数时，\(n\) 也是偶数。

测试点编号	\(n\)	\(a_i\)
\(1\sim3\)	\(1\le n\le 10\)	\(1\le a_i\le10^6\)
\(4\sim8\)	\(1\le n\le 100\)	\(1\le a_i\le 10\)
\(9\sim11\)	\(1\le n\le10^5\)	\(1\le a_i\le 10^6\)

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题解

题意：

给定一个序列 \(S\) 要求构造 \(S\) 的排列使得其中相邻两项间差的绝对值之和最大。

思路：

首先，我们可以观察序列，对于不是第 \(1\) 个和第 \(n\) 个的数，都会有两次计算。如果这个数是较大的数，它可能被加两次；反之则可能被减两次。

如果感性理解有困难，可以看以下数据：

对于序列 \([1,2,3,4]\) 来说，如果我们把它排成 \([1 4 2 3]\)，那么它就等价于 \((4-1)+(4-2)+(3-2)\)。可见，中间的 \(4,2\) 都被计算了两次。
那么我们要让总的贡献最大，自然要让大的多被加，小的多被减。这样贪心的思路就显而易见了：
尽可能让最大的数和最小的数在中间交错排列，把靠近中位数的两个数放在两边。
然后答案就等于最靠近中位数的两个数比它大的加上自己本身，比他小的减去自己本身，剩下的数按照同样的规则加减两遍就行了。

有了这个思路，偶数个数字就很好处理了：

int num=(n>>1);
for(int i=1;i<=num;i++){
	if(i==num)ans+=a[n-i+1]-a[i];//两个中间数值加一遍
	else ans+=(a[n-i+1]-a[i])*2;//大的数加两遍，小的数减两遍
}
cout<<ans;

不过，当 \(n\) 为奇数的时候，中位数只有一个，该怎么办呢？

反正中位数不是在与大的数相邻的端点就是在与小的数相邻的端点，只需要都算出来比较一下就好了！

仔细观察，对于去掉中位数之后的序列，其端点又生成了两个新的中位数，如果这个中位数加入了大数的行列，则会有 \(\frac{(n+1)}{2}\) 个大数包围着 \(\frac{(n-1)}{2}\) 个小数。
那么这个时候就代表着左右两个端点都是大数，除了这两个数以外的大数被加两次，小数被减两次。
反之，就是小数包围大数，那么依旧除了两个端点的数其他数大的加两次小的减两次。

int num=(n>>1)-1,i=0;
for(i;i<=num;i++){
	ans+=(a[n-i+1]-a[i])*2;
}
i--; 
int num1=a[i+2]+a[i+3]-2*a[i+1],num2=2*a[i+3]-a[i+1]-a[i+2];
cout<<ans+max(num1,num2);

代码

似乎主要的代码都已经给了，而且本题没有什么很坑人的细节，不过还是放一下吧。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,a[100005],ans;
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	sort(a+1,a+n+1);
	if(n%2==0){
		int num=(n>>1);
		for(int i=1;i<=num;i++){
			if(i==num)ans+=a[n-i+1]-a[i];
			else ans+=(a[n-i+1]-a[i])*2;
		}
		cout<<ans;
		return 0;
	}
	else{
		int num=(n>>1)-1,i=0;
		for(i;i<=num;i++){
			ans+=(a[n-i+1]-a[i])*2;
		}
		i--; 
		int num1=a[i+2]+a[i+3]-2*a[i+1],num2=2*a[i+3]-a[i+1]-a[i+2];
		cout<<ans+max(num1,num2);
	} 
	return 0;//华丽结束
}