基于小波包畸变的不平衡故障诊断数据增强方法解析

在机械系统运行状态监测中，健康状态样本通常较为充足，而故障样本由于停机保护和发生概率低等原因极难获取，导致训练数据集呈现严重的类别不平衡。针对该问题，论文《Highly imbalanced fault diagnosis of mechanical systems based on wavelet packet distortion and convolutional neural networks》提出了一种基于小波包畸变（Wavelet Packet Distortion）的数据增强方法，通过对故障样本在时频域进行受控扰动，在扩充少数类样本规模的同时保持物理故障特征的基本一致性。

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一、小波包畸变的基本流程

传统的简单随机过采样方法（如直接复制少数类样本）难以增加样本的多样性，易引发深度学习模型的过拟合；而在时域直接添加高斯噪声或随意扰动，则可能破坏机械振动信号中固有的冲击成分和频率结构。小波包变换能够将信号正交分解到互不重叠的不同频带子空间中，为精细化操作特定频段的特征提供了数学基础。

小波包畸变主要包含三个步骤：小波包分解、随机频带系数非线性畸变、以及逆小波包变换重构。

Fig. 1. The procedures of wavelet packet distortion.

如上图（论文Fig. 1）所示，整个畸变流程具有明确的结构：

1. 小波包分解：利用离散小波包变换将输入振动信号分解为多层树状节点的小波包系数；
2. 随机选择与畸变：随机挑选其中一个叶子节点对应的小波包系数子集，引入非线性畸变算子进行扰动，其余节点的系数保持不变；
3. 逆变换重构：将畸变后的系数与未变动的系数结合，通过逆小波包变换恢复为时域信号。

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二、小波包畸变的技术实现细节

1. 小波包分解与重构的数学表达

设 \((h, g)\) 为长度为 \(L\) 的正交共轭镜像滤波器组，\(h\) 与 \(g\) 分别对应低通和高通分解滤波器。设 \(w_{j,i}\) 表示第 \(j\) 层分解下的第 \(i\) 个小波包系数向量（其中 \(i = 0, 1, \dots, 2^j - 1\)），\(w_{0,0}\) 为原始离散振动信号。根据 Mallat 算法，小波包分解递推公式如下：

\[w_{j+1, 2i}[k] = \sum_{l=0}^{L-1} w_{j,i}[2k-l] h[l] \]

\[w_{j+1, 2i+1}[k] = \sum_{l=0}^{L-1} w_{j,i}[2k-l] g[l] \]

其中 \(k\) 和 \(l\) 为序列索引。经 \(J\) 层分解后，原始信号被划分至 \(2^J\) 个频带节点上。

完成系数处理后，利用对应的重构滤波器组 \((\tilde{h}, \tilde{g})\)，通过二倍上采样与滤波卷积实现逆小波包变换：

\[v_{j,i}[k] = \sum_{l=0}^{L-1} \tilde{w}_{j+1, 2i}\left[\frac{k-l}{2}\right] \tilde{h}[l] + \sum_{l=0}^{L-1} \tilde{w}_{j+1, 2i+1}\left[\frac{k-l}{2}\right] \tilde{g}[l] \]

其中 \(\tilde{w}\) 为经过上采样插零后的系数序列，\(v\) 为重构后的时域信号序列。

2. 非线性畸变算子

在获得分解系数后，算法随机选取某个节点处的系数集合 \(w\)，并采用如下非线性指数变换对该节点的系数值进行数值畸变：

\[\tilde{w} = \text{sign}(w) \cdot |w|^d \]

其中：

• \(\text{sign}(\cdot)\) 为符号函数，确保畸变后系数的极性不发生反转，从而维持原信号的过零率和相位轮廓；
• \(|w|\) 为系数的绝对值；
• \(d\) 为畸变系数，从预设的区间（例如包含 \(1.0\) 的连续区间 \([d_{\min}, d_{\max})\)）中随机采样获得。

Fig. 2. An sinusoidal signal and its two distorted versions.

上图（论文Fig. 2）展示了正弦信号在选取不同 \(d\) 值（\(d=0.8\) 与 \(d=1.2\)）时的非线性畸变效果。从波形特征可知：

• 当 \(d = 1.0\) 时，系数保持不变，重构信号与原信号完全一致；
• 当 \(d \neq 1.0\) 时，波峰和波谷产生非线性平滑拉伸或压缩，但在时间轴上的主导周期和频域分布并未发生本质改变。

在机械振动信号中，故障特征主要集中在特定的特征频率及其谐波分量上。由于该操作仅随机扰动单个频带节点的系数幅度，并未改变小波包基函数所在的时频划分结构，因此生成的扩增样本在保留原始故障特征频率主体的同时，引入了合理的幅度非线性扰动。

3. 统计能量（标准差）约束

机械旋转部件产生局部故障时，振动信号的总能量与故障的严重程度直接相关。为了避免非线性畸变导致合成信号在能量量级上发生非物理性的偏离，该方法在逆变换生成信号后，强制将扩增样本的标准差缩放校准至与其对应的原始样本一致：

\[\sigma_{\text{augmented}} = \sigma_{\text{original}} \]

这一约束保证了合成样本在振动强度统计量上的物理一致性。

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三、整体训练流程与动态数据生成

在结合卷积神经网络（ConvNet）进行分类时，算法通过动态迭代扩增的方式构建平衡数据集。

Fig. 4. Overall procedure of the imbalanced fault diagnosis approach.

如上图（论文Fig. 4）流程所示：

1. 数据准备与静态输入：输入由多数类健康样本和极少数类故障样本组成的原始训练集。
2. 频域畸变扩增：对每个故障类别的样本执行小波包畸变操作，补充样本数量，使各故障类别的样本数与健康类别达到一致。
3. 动态更新机制：在模型训练的每一轮（epoch）中，若未达到终止条件（训练准确率达到100%或达到最大训练轮数），则在进入下一轮训练前重新执行小波包畸变以生成新一批扩增样本。这种动态重构策略使得网络在不同epoch接触到具有不同数值扰动的样本，从而限制了深层模型对少量样本的强行记忆，降低过拟合风险。

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参考文献

Highly imbalanced fault diagnosis of mechanical systems based on wavelet packet distortion and convolutional neural networks[J]. Advanced Engineering Informatics, 2022, 51: 101535.

https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S1474034622000118