点分治学习笔记
点分治学习笔记
基本思想
现在假设我们有一颗以\(root\)为根的树
考虑所有树中的路径。
我们发现：要么该路径经过\(root\)（包括端点在\(root\)上的路径），要么该路径在\(root\)的子树
那么，对于这些路径，我们只要先处理经过\(root\)的路径，对于剩下的路径，我们分别以它的孩子为根进行同样的操作即可（因为剩下的路径一定在以\(root\)为根的子树里）。这便是点分治
U.png)
（放个图充实版面）
例题：POJ 1741 Tree
题目大意：
给你一棵树，求点对\((u,v)\)的数量，使得\(u\)和\(v\)之间的距离不超过\(k\)
Solution:
考虑点分治。
对于当前树的每个节点，我们记录深度\(dep_i\)（根节点深度为\(0\)），以及除根节点以外最远的祖先\(fa_i\)
我们现在只考虑经过根节点的路径数。
于是我们得到：
其中：
\([]\)表示当表达式为真是取值为\(1\)，否则为\(0\)
\(\land\) 表示逻辑与
该式等于：
显然，式子的后边可以递归分治地解决（相当于以\(fa_i\)为根）
我们只要考虑前边怎么算了。
而前面只需要一个\(two\) \(pointers\) 就解决了：
我们把所有的\(dep\)排个序，让\(l\)指向最小的，让\(r\)指向最大的那个
从左到右遍历\(l\)，如果\(dep_l+dep_r\le k\)，则说明对于任意满足\(l < t <= r\)的\(t\)，都有\(dep_l+dep_t\le k\)
即此时所有点对\((l,t)\)都符合调价。于是我们只需将答案加上\(r-l\)即可
注意：为防止题目出一条链来卡点分治，使复杂度退化为\(O(n^2)\) ，我们需要将树的重心作为根节点，以保证复杂度为\(O(n log n)\)
Q:这做法复杂度看上去像\(O(n^2)\)的啊
A:不是的。如果我们以树的重心为根节点，我们至多下降\(logn\)层，而每一层的操作是\(O(n)\)的，所以总体的时间复杂度是\(O(n log n)\)的
Code:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=4e4+5;
struct Node{
int to;
int next;
int w;
}edge[maxn<<1];
int head[maxn],cnt;
inline void add(int x,int y,int w){
edge[++cnt].next=head[x];
edge[cnt].to=y;
edge[cnt].w=w;
head[x]=cnt;
}
int n;
int K;
int size[maxn];
int f[maxn];
int ans;
int dis[maxn];
vector<int>dep;
int v[maxn];
int tot;
int root;
inline void dfs1(int x,int fa){
size[x]=1; f[x]=0;
for(int i=head[x];i!=0;i=edge[i].next){
int k=edge[i].to;
if(k==fa) continue;
if(v[k]) continue;
dfs1(k,x);
size[x]+=size[k];
f[x]=max(f[x],size[k]);
}
f[x]=max(f[x],tot-f[x]);
if(f[x]<f[root]) root=x;
}
inline void dfs2(int x,int fa){
dep.push_back(dis[x]);
size[x]=1;
for(int i=head[x];i!=0;i=edge[i].next){
int k=edge[i].to;
int w=edge[i].w;
if(v[k]) continue;
if(k==fa) continue;
dis[k]=dis[x]+w;
dfs2(k,x);
size[x]+=size[k];
}
}
inline int calc(int x,int tmp){
int res=0;
dep.clear();
dis[x]=tmp;
dfs2(x,0);
sort(dep.begin(),dep.end());
int l=0; int r=dep.size()-1;
while(l<r){
if(dep[l]+dep[r]<=K) res+=r-l,l++;
else r--;
}
return res;
}
inline void dfs3(int x){
ans+=calc(x,0);
v[x]=1;
for(int i=head[x];i!=0;i=edge[i].next){
int k=edge[i].to;
int w=edge[i].w;
if(v[k]) continue;
ans-=calc(k,w);
f[0]=tot=size[k];
dfs1(k,0);
dfs3(k);
}
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n-1;i++){
int x,y,w;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
add(x,y,w);
add(y,x,w);
}
scanf("%d",&K);
f[0]=n; tot=n;
dfs1(1,0);
dfs3(root);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
