MathBasic - 01 - 基础数学

MathBasic - 01 - 基础数学

前言

• 这是我学习美国数学课程-从小学到大学-中英cc字幕-数学英语课程的笔记，我的数学基础巨差，看这个刚合适，不太难又容易理解。
• 其中会添加一些我自己的理解和示例
• 本次核心内容（该课程的00讲-21讲）
  • 基础运算：加减乘除、运算顺序
  • 数与分数：分数（假分数）、百分比、负数、指数。
  • 数论入门：质数、因数分解、公倍数&公因子。
  • 统计入门：平均值、众数、中位数。

001 - 片头

• 便览数学的发展与神奇之处，从身边到宇宙再到未来，广阔无垠。

002 - 数学概论

• 数学到处都有，又到处都没有（生活处处是数学，但是建立在认知之上）
• 解决问题的好帮手
• 建立与现实世界 抽象化的

003 - 加减法

为什么需要加减法

• 数数 (商品交易 计数) 发展需要算术运算

加法

• 示例：计算两堆苹果的总数
• 适用结合律和交换律
• 结合律：\(a + b +c = (a + b) + c\)
• 交换律：\(a+b+c=a+c+b\)

减法

• 具象化：数轴上的两点间的距离

004 - 乘除法

乘法

• 示例：计算苹果数量

• 本质为加法：同样一个数字相加多次（次数就是乘法的另一个乘数）

• 运算结果成为两个数的乘积 \(a*b=ab\)/\(a·b = ab\)

• 适用交换律和结合律

除法

• 示例：分苹果
• 本质为减法
• 不适用交换律和结合律

心算的必要性

• 借助乘法表或者常用的

• 心算在很多方面都是非常有用的（比如节省时间），因此要侧重锻炼

005 - 分数 假分数 混合分数

分数

• 特殊的除法（除法的一种表现形式）

分数间比较大小方法

• 形状比较 (比如平均等分相同大小的pizza)
• 算数比较规则
  • 同分母，比分子，分子大的分数值越大 - \(\frac{3}{4}<\frac{4}{4}\)
  • 异分母 先通分 后比较（分子相同，分母越大 该分数值越小）

    • 示例：比较\(\frac{6}{5}\)和\(\frac{4}{3}\)

    • 异分母通分

      • \(\frac{6}{5}=\frac{6·3}{5·3}= \frac{18}{15}\);\(\frac{4}{3}=\frac{4·5}{3·5}=\frac{20}{15}\)

    • 因此：\(\frac{6}{5}<\frac{4}{3}\)

006 - 数字的位权 和 数值估计

位权

• 示例:162:100+60+2=162

  • 用有限的符号表示任意大数字（不断增加数位）

• 位权的概念同样应用于各种不同的进制中

  • 计算机中的2进制
  • 日常使用中的10进制
    • 个位、十位、百位、千位

数值估计

• 示例：比如估算参加某个聚会的人数
• 在合理的范围内估计，四舍五入

007 - 小数-计算机中的浮点数

• 小数点
• 数字的大小取决于数字所在的位置-位权
• 小数间的简单运算

008 - 百分比 - %

• %:表示一个数字的在总体中的占比(几率 比率)

009 - 百分比 分数 小数 之间的互相转化

这应该大家都会吧

百分比	分数	小数
30%	\(\frac{30}{100} = \frac{3}{10}\)	0.3

010 - 大数字间的加减法

竖式运算

• 多个数字间的加减法，也可以使用竖式运算进行计算

011 - 算数的分配律 - 乘法

使用分苹果的示例解释分配律

• 每堆苹果7个 共有5堆，也可以说有5堆 每堆3个 和 5堆 每堆4个
• 算式示例：\(5*7=5*(3+4)=5*3+5*4\)

优点

• 在计算大数字相乘时可以简便计算

012 - 整数相乘

方法

• 常用的竖式运算

  \[\begin{array}{r} \phantom{\times}425 \\ \times12 \\ \hline 850 \\ +4250 \\ \hline 5100\\ \end{array} \]

• 分配律运算

两种计算方法间的联系

• 本质上并无较大区别，且各有优缺，不过分配律需要一点点的创造力(比如10的倍数)，来使得整个计算过程更加方便、快速

013 整数除法

竖式运算 乘法的逆运算

• 被除数、除数、商、余数
• 算式示例：\(20/3 = 6...2(r)\)

运算结果

• 整除
• 小数（特殊的无限小数）

014 负数

现实生活中的表现形式

• 欠款、负债、温度

• 数轴能够更好地理解负数的运算

负数的基本运算规则

• 加：加上一个数的负数，等于减去这个数的正数

  • \(10+(-10)=10-10=0\)

• 减：减去一个数的负数，等于加上这个数的正数

  • \(10-(-10)=10+10=20\)

• 乘、除（同符号为正、异符号为负）

015 理解指数及其运算

指数与乘法

• 正如乘法是表示多个相同的数字相加一样，指数指的是多个相同的数字相乘

基本形式

\[x^2=x * x \]

负数指数

\[x^{-a} = \frac{1}{x^a} \]

指数的运算规则

\[x^a * x^b = x^{a+b} \]

\[x^a / x^b = x^{a-b} \]

\[(x^a)^b = x^{ab} \]

\[x^0 = 1(x\not=0) \]

016 算数的运算顺序

括号-指数-乘除-加减

017 整除 质数 和 质因数分解

整除

• 任何数 都可以被1和它本身所整除
• 偶数：能被2所整除的数字
• 奇数：非偶数即不能被2整除的数字

质数

• 因数只有1和它本身
• 质数只能是奇数(即不能被二整除)

质因数分解

• 算数基本定理：任何非质数都会被唯一的一组质因数所分解
• 算数示例：\(60=15*4=3*5*2*2\)
  • 图式

graph TD 60 -->15 60 -->4 15 -->3 15 -->5 4 --> 2 4 --> 2

018 最小公倍数及其应用

公倍数概念

• 现有数字num1与num2：能同时被两个数字都整除的数字即是这两个数字的公倍数
• 最常见的公倍数：数字num1与num2的乘积

最小公倍数

• 最小公倍数：即同时被num1和num2整除的最小数字

如何查找最小公倍数

小数字

可以分别罗列出num1与自然整数(从1开始)的乘积，与num2的与自然整数的乘积，随后两个里面均有的最小的。

大数字（比较复杂的数字）

• 分别写出num1与num2的各自的质因数分解

• 将出现次数最多的质因数组与两组互相没有的质因数的乘积即是最小公倍数

  num1 = 20;
  num2 = 30;
  
  - 各自的质因数组
  20: 2*2*5
  30: 2*5*3
  - 两者共有出现次数最多的质因数组(最大公因子)
  2*5
  - 两组互相剩下的质因数
  2，3
  最小公倍数：2*3*2*5=60
  

应用

异分母分数比较大小或者进行运算时，需要通分找到最小公倍数，之后方便进行计算

019 最大公因子（公因数）

公因数

两个数或者多个数都共有的因数

如何求取最大公因数

穷举法

列出数字的所有的因数，查看最大的公因数

质因数组

num1 = 24
num2 = 90

# 找出各自的质因数组
24 = 2*2*2*3
90 = 3*3*2*5 

# 共同的质因数
2,3

#最大公因子
2*3=6

• 首先将两个数字或多个数字进行质因数分解
• 找出数字中共有的质因数组，质因数组的乘积即是最大公因数(质因数无法再进行分解)

020 分数的加法和减法

同分母计算规则

• 直接加减分子即可：\(\frac{a}{b}\pm\frac{c}{b}=\frac{a\pm c}{b}\)
• 示例：\(\frac{5}{4}-\frac{6}{4}=\frac{5-6}{4}=-\frac{1}{4}\)

异分母计算规则

• 通分：找到分母的最小公倍数（应用之前的质因数分解知识）
• 转化为同分母之后进行运算
• 示例：\(\frac{5}{4}-\frac{3}{5}=\frac{5\times5}{4\times5}-\frac{3\times4}{5\times4}=\frac{13}{20}\)

021 分数的除法和乘法

分数乘法

• 乘法就是加法

运算规则

• 分数与整数相乘：\(\frac{a}{b}\times c = \frac{a \times c}{b}\)​
• 分数与分数相乘：\(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\)

分数除法

除以一个数就是乘以它的倒数，之后按照乘法的运算规则即可：\(\frac{a}{b} \div c = \frac{a}{b \times c}\)

022 数据集 范围 平均值 中位数 众数

数据集中的特殊数字

平均值

反应数据集的平均值：所有的值相加除以数据集的数据项数

应用

• 班级的平均成绩

中位数

如果有极端值或者偏态分布的数据，抗干扰能力强，反应数据的常态

• 将数据集数据降序或者升序排列
• 奇数项数据：最中间一项数据
• 偶数项数据：取中间两项数据的平均值
• 应用
  • 评估一段时间内的某款游戏的游戏时间（周六周天疯狂玩，周内少玩或者不玩），中位数更贴近日常游玩时间

众数

数据集中出现次数最多 频率最高的数据项（有的数据项可能没有众数）

应用

• 比如统计数学错误，可以知道经常在什么方面犯错误。

三种对比和互补

指标	定义	优点	缺点	适合场景
平均值	总和 ÷ 数量	综合整体水平	受极端值影响	数据分布均匀时
中位数	排序后中间值	不受极端值干扰	不反映整体分布	有偏态或极端值时
众数	出现最多的值	突出常见情况	突出常见情况	找“主流”时