莫比乌斯函数的证明

前置知识：高维前缀和与差分

莫比乌斯反演的直观解释与证明

1. 核心思想：因子格上的高维运算

每个正整数 \(n\) 可以写成质因子分解形式：

\[n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k} \]

我们可以把它看作 \(k\) 维空间中的一个点 \((a_1, a_2, \dots, a_k)\)。\(n\) 的所有因子 \(d\) 对应所有满足 \(0 \le b_i \le a_i\) 的点 \((b_1, \dots, b_k)\)。

2. 高维前缀和的视角

给定两个数论函数 \(f(n)\) 和 \(g(n)\)，如果满足：

\[g(n) = \sum_{d|n} f(d) \]

这等价于说：\(g\) 是 \(f\) 在因子格上的高维前缀和。具体来说：

\[g(a_1, \dots, a_k) = \sum_{b_1=0}^{a_1} \sum_{b_2=0}^{a_2} \cdots \sum_{b_k=0}^{a_k} f(b_1, \dots, b_k) \]

3. 高维差分的需要

现在的问题是：已知前缀和 \(g\)，如何恢复原函数 \(f\)？

在二维情况下的差分公式：

\[f(x,y) = g(x,y) - g(x-1,y) - g(x,y-1) + g(x-1,y-1) \]

推广到 \(k\) 维，差分系数遵循这样的规律：

• 每个维度可以选择"减1"或"不减"
• 总系数 = \((-1)^{\text{选择"减1"的维度数}}\)

4. 莫比乌斯函数的本质：差分系数

莫比乌斯函数 \(\mu(d)\) 定义为：

\[\mu(n) = \begin{cases} 1, & n=1 \\ (-1)^k, & n=p_1 p_2 \cdots p_k \ (\text{$p_i$ 为不同质数}) \\ 0, & n \text{ 含有平方因子} \end{cases} \]

关键洞察：\(\mu(d)\) 正好给出了高维差分的系数！

• 如果 \(d\) 有平方因子 \(\Rightarrow\) \(\mu(d)=0\)（不需要重复差分）
• 如果 \(d\) 是 \(t\) 个不同质数的乘积 \(\Rightarrow\) \(\mu(d)=(-1)^t\)（在 \(t\) 个维度上做差分）
• \(d=1\) \(\Rightarrow\) \(\mu(1)=1\)（所有维度都不差分）

5. 莫比乌斯反演公式

正变换（前缀和）：

\[g(n) = \sum_{d|n} f(d) \]

逆变换（差分）：

\[f(n) = \sum_{d|n} \mu(d) \, g\!\left(\frac{n}{d}\right) \]

6. 严格证明

证明：假设 \(g(n) = \sum_{d|n} f(d)\)，要证 \(f(n) = \sum_{d|n} \mu(d) g(n/d)\)。

\[\begin{aligned} \sum_{d|n} \mu(d) \, g\!\left(\frac{n}{d}\right) &= \sum_{d|n} \mu(d) \sum_{e \mid \frac{n}{d}} f(e) \quad \text{(代入 $g$ 的定义)} \\ &= \sum_{e|n} f(e) \sum_{d \mid \frac{n}{e}} \mu(d) \quad \text{(交换求和次序)} \end{aligned} \]

利用莫比乌斯函数的关键性质：

\[\sum_{d|m} \mu(d) = \varepsilon(m) = \begin{cases} 1, & m=1 \\ 0, & m>1 \end{cases} \]

因此：

• 当 \(n/e = 1\)（即 \(e=n\)）时，内层和为 \(1\)
• 当 \(n/e > 1\)（即 \(e<n\)）时，内层和为 \(0\)

于是：

\[\sum_{e|n} f(e) \sum_{d \mid \frac{n}{e}} \mu(d) = f(n) \cdot 1 + \sum_{\substack{e|n \\ e<n}} f(e) \cdot 0 = f(n) \]

证毕。

7. 逆方向的证明

同理可证，如果 \(f(n) = \sum_{d|n} \mu(d) g(n/d)\)，那么：

\[\begin{aligned} \sum_{d|n} f(d) &= \sum_{d|n} \sum_{e|d} \mu(e) g\!\left(\frac{d}{e}\right) \\ &= \sum_{k|n} g(k) \sum_{e|(n/k)} \mu(e) \\ &= \sum_{k|n} g(k) \, \varepsilon\!\left(\frac{n}{k}\right) = g(n) \end{aligned} \]