护士排班——线性规划算法的实现

一、问题描述

       护士排班问题是指在医院中，如何合理地安排护士的工作时间，以满足患者的需求，同时保证护士的工作质量和生活质量。该问题通常涉及到多个护士、多个班次和多个工作日，需要考虑护士的工作时间、休息时间、轮班时间等因素。

二、线性规划模型

       为了解决护士排班问题，可以采用线性规划模型。假设有 n 个护士， m 个班次， T 个工作日，其中第 i 个护士在第 j 个班次上工作的时间为 xij ，第 i 个护士在第 j 个班次上休息的时间为 yij ，第 i 个护士在第 j 个工作日上工作的时间为 zij 。则可以建立如下的线性规划模型：

目标函数： min ∑i=1n∑j=1m∑k=1Twij

约束条件：

∑j=1m xij + yij = 1 ，i=1,2,..., n ，j=1,2,..., m ，表示每个护士在每个班次上只能工作或休息。

∑i=1n xij = di ，j=1,2,..., m ，表示每个班次需要有 di 个护士工作。

∑j=1m xij ≤ zi ，i=1,2,..., n ，表示每个护士在每个工作日上最多只能工作 zi 个班次。 xij ≥ 0 ，yij ≥ 0 ，zij ≥ 0 ，i=1,2,..., n ，j=1,2,..., m ，k=1,2,..., T ，表示变量的非负性。 其中， wij 表示第 i 个护士在第 j 个班次上工作或休息的成本，可以根据实际情况进行设定。

三、算法实现

1. 数据准备

       首先需要准备护士的基本信息，包括护士的编号、姓名、工作时间、休息时间、轮班时间等。同时需要确定班次的数量和工作日的数量，以及每个班次需要的护士数量。

2. 模型建立

       根据上述线性规划模型，可以使用 Python 中的 PuLP 库进行建模。具体实现过程如下：

（ 1 ）导入 PuLP 库和 numpy 库

import pulp

import numpy as np

（ 2 ）定义变量

n = 10 # 护士数量

m = 3 # 班次数量

T = 7 # 工作日数量

x = pulp.LpVariable.dicts('x', [(i,j) for i in range(n) for j in range(m)], lowBound=0, upBound=1, cat=pulp.LpInteger)

y = pulp.LpVariable.dicts('y', [(i,j) for i in range(n) for j in range(m)], lowBound=0, upBound=1, cat=pulp.LpInteger)

z = pulp.LpVariable.dicts('z', [(i,j) for i in range(n) for j in range(T)], lowBound=0, upBound=1, cat=pulp.LpInteger)

（ 3 ）定义目标函数

prob = pulp.LpProblem('Nurse Scheduling', pulp.LpMinimize)

prob += pulp.lpSum([w[i][j]*x[(i,j)] + w[i][j]*y[(i,j)] for i in range(n) for j in range(m) for k in range(T)])

（ 4 ）添加约束条件

每个护士在每个班次上只能工作或休息

for i in range(n):

for j in range(m):

prob += x[(i,j)] + y[(i,j)] == 1

每个班次需要有di个护士工作

for j in range(m):

prob += pulp.lpSum([x[(i,j)] for i in range(n)]) == d[j]

每个护士在每个工作日上最多只能工作zi个班次

for i in range(n):

for k in range(T):

prob += pulp.lpSum([x[(i,j)] for j in range(m) if j//T==k]) <= z[(i,k)]

（ 5 ）求解模型

prob.solve()

3. 结果分析

       求解模型后，可以得到每个护士在每个班次上的工作情况，以及每个班次需要的护士数量。根据这些信息，可以生成护士排班表，以便实际应用。