尤拉公式----关于凸多面体之间顶点数/面数/边数之间的关系

尤拉公式----关于凸多面体之间顶点数/面数/边数之间的关系

若G为一连通之平面图,则V + F = E + 2
其中V代表G中点的个数, F代表G中面的个数, 而E是G的边数.

应用：在一个圆上给你n个点，求n个点可以把圆分为几个区域

分析：根据欧拉定理可知：边-点+2=区域个数

点：v=n+C(n,4)，四个点有一个交点

边：e=n（圆弧上的）+C(n,2) +2*C(n,4)，两个点连成一条线，内部的一个交点分两条线为四条线

求圆内部有多少区域，所以算出来的区域个数再减去圆外部的一个区域

所以为C(n,4)+C(n,2)+1

例题：Fence Building  https://www.jisuanke.com/contest/3104/248391

题意：在一个圆上给你n个点，求n个点可以把圆分为几个区域

分析：根据欧拉定理可知：边-点+2=区域个数

点：v=n+C(n,4)，四个点有一个交点

边：e=n（圆弧上的）+C(n,2) +2*C(n,4)，两个点连成一条线，内部的一个交点分两条线为四条线

求圆内部有多少区域，所以算出来的区域个数再减去圆外部的一个区域

所以为C(n,4)+C(n,2)+1

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
long long n;
#define mod 1000000007
#define ll long long
ll mod_pow(ll x, ll n, ll p){
    ll res = 1;
    while(n){
        if(n & 1) res =res * x % p;
        x = x * x % p;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

ll comb(ll n, ll m, ll p){ //求解组合数
    if(m > n) return 0;
    ll ret = 1;
    m = min(n - m, m);
    for(int i = 1; i <= m; i ++){
        ll a = (n + i - m) % p;
        ll b = i % p;
        ret = ret * (a * mod_pow(b, p - 2, p) % p) % p;
    }
    return ret;
}

ll Lucas(ll n, ll m, ll p){  //卢卡斯定理
    if(m == 0) return 1;
    return comb(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
}

int main(){
    int t;
    scanf("%d", &t);
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        scanf("%lld",&n);
        long long ans=(Lucas(n,2,mod)+Lucas(n,4,mod)+1)%mod;
        printf("Case #%d: %lld\n",i,ans);
    }
    return 0;
}