魔方矩阵（幻方、九宫图）
魔方矩阵（幻方、九宫图）
今天在学matlab基础知识的时候，看到magic(N)这个函数，觉得好奇，就查了下资料，让我弄明白了魔方矩阵是如何就算的，记录下来，当作笔记了。。。
定义：
将自然数1到N^2填充N行N列的方阵，使方阵中每行、每列及两条主对角线上的N个数的和都等于N*(N^2+1)/2，这样的方阵称为N阶魔方矩阵（幻方）。
趣味例子:
在《射雕英雄传》中郭、黄二人被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。瑛姑出了一道题：数字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。这道题难倒了瑛姑十几年，被黄蓉一下子就答出来了。
| 8 | 1 | 6 |
| 3 | 5 | 7 |
| 4 | 9 | 2 |
这就是九宫图的例子，属于魔方矩阵的特例。大家不要觉得黄蓉很聪明，看完下面的介绍，你也能很快算出这个答案。
对于魔方矩阵的构造分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其他数（偶数，4N+2的形式），下面就由我来一一介绍：
1.N为奇数
（1）将1放在第一行中间一列。
（2）从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：
按右上45°方向行走，也就是说下一个数的行数比前一个数的行数减1，列数加1
<1>.如果行范围超出矩阵范围，则行数变为n-1行，列不变。
<2>.如果列范围超出矩阵范围，则列数变为0列，行不变。
<3>.如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第0行第n-1列时，则把下一个数放在上一个数的下面。
（3）按照上述规则(1)(2)将N^2 个数都放入矩阵中，得到的矩阵即为N阶魔方矩阵。
例如：5阶魔方矩阵
| 17 | 24 | 1 | 8 | 15 |
| 23 | 5 | 7 | 14 | 16 |
| 4 | 6 | 13 | 20 | 22 |
| 10 | 12 | 19 | 21 | 3 |
| 11 | 18 | 25 | 2 | 9 |
2.N为4的倍数
采用对称元素交换法：
（1）把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵。
（2）将方阵划分为4×4子方阵，每个子方阵中画出子主对角线、子副对角线，然后按照下面步骤操作：
<1>.主对角线上的元素关于原点对称交换。
<2>.副对角线上的元素不动。
<3>.子对角线（子主对角线、子副对角线）关于副对角线对称交换。
<4>.各子方阵中其余元素关于主对角线对称交换。
（3）按照上述规则(1)(2)操作元素，得到的矩阵即为N阶魔方矩阵。
最后得到的8阶魔方矩阵为：
| 64 | 2 | 3 | 61 | 60 | 6 | 7 | 57 |
| 9 | 55 | 54 | 12 | 13 | 51 | 50 | 16 |
| 17 | 47 | 46 | 20 | 21 | 43 | 42 | 24 |
| 40 | 26 | 27 | 37 | 36 | 30 | 31 | 33 |
| 32 | 34 | 35 | 29 | 28 | 38 | 39 | 25 |
| 41 | 23 | 22 | 44 | 45 | 19 | 18 | 48 |
| 49 | 15 | 14 | 52 | 53 | 11 | 10 | 56 |
| 8 | 58 | 59 | 5 | 4 | 62 | 63 | 1 |
3.N为其他数（偶数，4N+2的形式）
（1）把大方阵分解为4个奇数(2m+1阶)子方阵。
（2）按照第1节中奇数阶魔方矩阵填数的方法给分解的4个子方阵赋值，四个子方阵赋值规则为：
上左子阵最小(i)，下右子阵次小(i+v)，下左子阵最大(i+3v)，上右子阵次大(i+2v)，即4个子方阵对应元素相差v，其中v=n*n/4。
四个子矩阵由小到大排列方式为 ① ③ ④ ②。
（3）按照（2）中描述赋值之后，作相应的元素交换：
<1>a(i,j)与a(i+u,j)在同一列做交换(j<t-1或j>n-t+1，矩阵行列编号从0开始)。
<2>a(t-1,0)与a(t+u-1,0)；a(t-1,t-1)与a(t+u-1,t-1)两对元素交换。
其中u=n/2，t=(n+2)/4。
(4)到此完成。
例子:6阶魔方矩阵：
| 35 | 1 | 6 | 26 | 19 | 24 |
| 3 | 32 | 7 | 21 | 23 | 25 |
| 31 | 9 | 2 | 22 | 27 | 20 |
| 8 | 28 | 33 | 17 | 10 | 15 |
| 30 | 5 | 34 | 12 | 14 | 16 |
| 4 | 36 | 29 | 13 | 18 | 11 |
未完待续。。
