算法第三章作业2504骆俊智

1.1 最优子结构性质与递归方程式
（1）问题分析
商人从左上角 (1,1) 出发，到右下角 (N,N)。只允许上下左右移动，每经过一个方格花费 1 个单位时间。从 (1,1) 到 (N,N) 的最短路径需要 (N-1)+(N-1)=2N-2 步，也就是经过 2N-1 个方格。题目要求必须在 2N-1 个单位时间内穿越出去，因此不能走回头路，只能向右或向下。
所以问题转化为：从左上角走到右下角，每次只能向右或向下，求经过方格费用之和的最小值。
（2）状态定义
设 a[i][j] 表示第 i 行第 j 列方格的通行费。定义 f[i][j] 表示从起点 (1,1) 走到方格 (i,j) 的最小总费用，并且该费用包含方格 (i,j) 自身的费用。
（3）最优子结构性质
要到达方格 (i,j)，最后一步只能来自上方方格 (i-1,j) 或左方方格 (i,j-1)。因此，到达 (i,j) 的最优路径，一定是由到达上方或左方的最优路径，再加上 (i,j) 的费用得到的。
如果到达 (i-1,j) 的某条路径不是最优路径，那么把它替换成更优路径后，到达 (i,j) 的总费用会更小，这与原路径最优矛盾。所以问题具有最优子结构性质。
（4）递归方程式
f[i][j] = a[i][j] + min{ f[i-1][j], f[i][j-1] } 2 ≤ i, j ≤ N
其中：
• f[i-1][j]：从上方到达 (i,j) 的最小费用；
• f[i][j-1]：从左方到达 (i,j) 的最小费用；
• a[i][j]：当前方格自身的费用。
（5）边界条件
起点：
f[1][1] = a[1][1]
第一行只能一直向右走：
f[1][j] = f[1][j-1] + a[1][j] 2 ≤ j ≤ N
第一列只能一直向下走：
f[i][1] = f[i-1][1] + a[i][1] 2 ≤ i ≤ N
1.2 填表法分析
（1）表的维度
使用二维表 f[1..N][1..N]，逻辑维度是 N×N。代码实现时，为了方便使用从 1 开始的下标，可以开成 f[N+1][N+1]，其中第 0 行和第 0 列不使用。
（2）填表范围
需要填写的范围是：
1 ≤ i ≤ N, 1 ≤ j ≤ N
其中，f[1][1] 直接赋值为 a[1][1]；第一行 f[1][j] 从左往右递推；第一列 f[i][1] 从上往下递推；其余格子按照递归方程计算。
（3）填表顺序
采用从上到下、从左到右的顺序：
for (int i = 1; i <= N; i++)
for (int j = 1; j <= N; j++)
// 计算 f[i][j]
原因是 f[i][j] 只依赖于 f[i-1][j] 和 f[i][j-1]：前者在上一行，已经计算完成；后者在当前行的左边，也已经计算完成。
（4）原问题的最优值
原问题是从 (1,1) 走到 (N,N) 的最小总费用，因此原问题的最优值为：
f[N][N]
（5）样例验证
样例输入网格如下：
1 4 6 8 10
2 5 7 15 17
6 8 9 18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33
按照递归方程计算，得到动态规划表（表中第 i 行第 j 列即 f[i][j]）：
i\j 1 2 3 4 5
1 1 5 11 19 29
2 3 8 15 30 46
3 9 16 24 42 62
4 19 27 36 55 76
5 39 50 61 84 109
因此：
f[5][5] = 109
最少费用为 109。
1.3 算法复杂度分析
（1）时间复杂度
状态总数为 N×N=N²。每个状态 f[i][j] 只需要做一次加法和一次比较，转移代价为 O(1)。
因此总时间复杂度为：
O(N²)
（2）空间复杂度
使用二维数组存储所有状态 f[N][N]，所以空间复杂度为：
O(N²)
（3）空间优化
由于 f[i][j] 只依赖于上一行的 f[i-1][j] 和当前行左边的 f[i][j-1]，因此可以把二维数组优化为一维滚动数组。优化后空间复杂度为：
O(N)

动态规划的关键是状态定义与转移。做“最低通行费”时，我先由 2N-1 的时间限制推出只能向右或向下，再令 f[i][j] 表示到达 (i,j) 的最小费用。状态清楚后，方程、边界和填表顺序自然清晰。动态规划不是背模板，而是把复杂问题拆成可复用的子问题。