专题总结（博弈论）
https://zybuluo.com/ysner/note/1232112
双人平等博弈（理论应用前提）
- 信息完全公开
- 双方轮流行动
- 面对同一局面,双方的决策集合相同
- 一般来说,规定不能操作者输
- 游戏局面不会成环,有限步之后游戏必定结束
\(N\)态与\(P\)态
- 首先把结束的局面置为\(P\)态
- 对于一个\(P\)态,找到所有能转移到它的状态,它们全部是\(N\)态
- 搜到一个状态时,它还没有被筛掉,就是\(P\)态
很多题目中, P 态之间不可直接转移。
一些性质
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\(SG\)值异或和为\(0\)即后者胜，对应\(P\)态。
证明：每当前者把异或和改变，使其不为\(0\)，后者总能把异或和重新变为\(0\)（拿掉相同数量的石子。并且这一定可行，否则异或和怎么为\(0\)？）。则最后一定是前者面对石子取完的情况。
而若不为\(0\)，前者一开始把异或和变为\(0\)，之后与后者对着干（使异或和为\(0\)）即可。 -
\(SG(A+B)=SG(A)\bigoplus SG(B)\)
-
如果交换胜负条件，先手胜利：
1、存在\(SG(x)>1\)，且异或和不为\(0\)
2、\(SG(x)=1\)，且有偶数堆石子
如何计算\(SG\)值
总的来说，常规计算\(SG\)值是一个递推的过程。
一般计算(推导）过程，就是对 所有后继状态（操作后状态）的\(SG\)值 的异或和取\(mex\)。
手推一遍\(SG\)值，发现一些后继状态实际上可由一些单独状态（在翻硬币游戏中）异或而成。根据上面提到的性质二，可以得到一个递推式：
(\(mex\)表示取括号内不包含的 最小非负整数）$$SG(x)=mex_{0\leq i<x}(\bigoplus_{j=1}^iSG(j))$$
应用场景
阶梯博弈
有\(N\)堆石子放在\(N\)层阶梯上，每次选择一层的若干石子,放入下一层。(特别地,\(1\)层的石子就被扔掉)
结论:计算所有奇数层石子数的异或和,得到整个游戏的\(SG\)
其实这玩意儿讲不完的，还得自己去看课件。
有趣的题目
模板题
裸板子。
只有一堆，限制一次最多只能取\(k\)个石子。
则\(SG[n]=n\%(k+1)\)（不信可以递推试试）
