费马小定理在素数检测中的应用

因为还没用过liux的编译环境，我这两天便寻思着在Windows上搭建一个scheme的编译环境。查阅了各路大神的搭建方式，最终选择在VSC上进行编译，不过整了两天只能说勉强能用。只有编译功能，无法debug也没有调试，而且最奇怪的是只能在终端上进行运行，编译界面的主要作用只有关键词联想和补括号，可有可无。但是各路大神的教程内容里似乎都可以正常编译，我只在reddit上看到和我有同样疑问的一位朋友，最新的解答也是只能在终端界面进行编辑。不知道是否有相同疑问的朋友，我的水平有限，还烦请解答一下该问题。
言归正传，这次学习的内容关于素数检测，其中对费马小定理进行了应用（如果n是一个素数，a是小于n的任意正整数，那么a的n次方与a通模n同余），那么理论上只要使用足够多的a<n,就能比较有把握的判断一个数是否为素数，有点类似蒙特卡洛算法。为了实现费马检测，我们需要下列过程。

点击查看代码

; 一个数的幂对另一个数的取模过程
(define (expmod base exp m)
      (cond ((= exp 0) 1 )
          ((even? exp)
           (remainder (square (expmod base (/ exp 2) m)) m ))
           (else 
           (remainder (* base (expmod base (- exp 1) m)) m ))))
; 定义平方，方便减少幂运算的步数
(define (square n)
      (* n n))
; 判断偶数，作用同上一步
(define (even? n)
      (= (remainder n 2) 0 ) )
; 费马检测过程，随机数a来源于1到n-1,这里通过random函数实现
(define (fermat-test n)
      (define (try-it a)
          (= (expmod a n n) a ))
      (try-it (+ 1 (random (- n 1)))))
; 这里规定一定次数的检测，次数耗尽如果没找到反例则有较大把握确认目标为素数
(define (fast-prime? n times)
      (cond ((= times 0) (display "true"))
          ((fermat-test n) (fast-prime? n (- times 1)))
          (else (display "false"))))

相较于从2开始挨个试验是否能够整除的素数检测方式，费马检测在步数上的增长阶为log n，空间上几乎为1，因为取决于我们所规定检测数字数量。相较于传统的开方成长阶，有一定的资源优势。

后续的练习题中涉及到了runtime，通过编译过程的耗时来直观体现步数和空间的资源消耗。可惜当前的编译环境（见文章开头）不支持，故这部分习题无法很好解答。

习题1.28中增加了费马小定理的改进版，MR检查，是费马小定理的一个变型，其核心为：如果n是素数，对于任何小于n的整数a，则a的(n-1)次幂与1模n同余。但题目要求通过非平凡平方根的存在证明n是否为素数。

点击查看代码

(define (square n)
      (* n n))
(define (even? n)
      (= (remainder n 2) 0 ) )
(define (expmod base exp m)
      (cond ((= exp 0) 1 )
          ((even? exp)
           (com (expmod base (/ exp 2) m) m ))
           (else 
           (remainder (* base (expmod base (- exp 1) m)) m ))
          ))
(define ( com x m )
      (define (deal rem)
          (if (= rem 1)
              0
              rem ))
      (cond ((= x 1) 1)
          ((= x (- m 1)) (remainder (square x)m))
          (else (deal (remainder (square x) m )))))
(define (MR-test n base)
      (cond ((= base 1) 1)
          ((= (expmod base n (+ n 1)) 1 ) (MR-test n (- base 1)))
          (else 0))
  )
(define (fast-prime? n base)
      (MR-test (- n 1) base))