UVa 13099 Tobby and the Line Game - 实践

题目分析

问题描述

$\text{Tobby}$参加一个在矩形场地上进行的游戏。场地左下角坐标为$(x_L,y_L)$，右上角坐标为$(x_R,y_R)$两枚硬币落点之间线段长度最长的参与者。就是。游戏规则是：每个参与者投掷两枚硬币，硬币落点均匀分布在矩形区域内（包括边界），且两次投掷相互独立。游戏的获胜者

$\text{Tobby}$想知道他获胜的机会有多大，因此需计算两枚硬币落点之间距离平方的期望值：

$$E[||{\mathbf{p}}_1-{\mathbf{p}}_2|{|}^2]=E[(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2]$$

关键观察

1. 独立性：$x_1$ 与 $x_2$ 独立，$y_1$ 与 $y_2$ 独立，且 $x$ 坐标与 $y$坐标相互独立
2. 均匀分布：所有坐标在各自区间内均匀分布
3. 可分离性：期望运算能够分解为$x$ 方向和 yy