空间直线方程 - 详解
空间直线的方向向量
直线上任意两点的坐标差就是该直线的方向向量，用二维空间很容易表示出来。
先看以下图：
OA反方向等长的，所以AB两点的坐标差就相当于就是图中AB是直线上任意两点，OA和OB则是这两点表示的的向量，ODO
B
→
+
O
D
→
\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}OB+OD，根据平行四边形法则就是O
C
→
\overrightarrow{OC}OC.因为B
C
‾
=
O
D
‾
=
O
A
‾
\overline{BC}=\overline{OD}=\overline{OA}BC=OD=OA直线的方向向量就是且BC平行于AD这条直线，所以OABC是一个平行四边形。那么OC就平行与AB所在的直线，于是直线上AB两点坐标差就O
C
→
\overrightarrow{OC}OC。
该图绘图代码为:
\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
% 定义绘图范围
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$x$}; % x 轴
\draw[->] (0,-2) -- (0,2) node[above] {$y$}; % y 轴
% 添加刻度
\foreach \x in {-2,-1,1,2}
\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};
\foreach \y in {-1,1}
\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
\coordinate (A1) at (-2.5, -1.5);
\coordinate (A) at (-1.5, -0.5);
\coordinate (B) at (0.5, 1.5);
\coordinate (B1) at (2.0, 3.0);
\coordinate (C) at (2, 2);
\coordinate (D) at (1.5, 0.5);
\coordinate (O) at (0, 0);
\node[yshift=-5pt] at (A) {A};
\node[yshift=5pt] at (B) {B};
\node[yshift=5pt] at (C) {C};
\node[xshift=5pt] at (D) {D};
\node[xshift=-5pt,yshift=-5pt] at (O) {O};
\draw[->] (A) -> (D);
\draw (D) --(C) -- (B) ;
\draw (A1) -- (B1);
\draw[->] (O) -> (B);
\draw[->] (O) -> (C);
\end{tikzpicture}
\end{document}空间直线的对称式方程
假设空间直线经过一个点A
0
A_0A0，坐标为(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
(x_0,y_0,z_0)(x0,y0,z0)，且有一个方向向量为(m,n,p)，那么根据上述结论，直线上任意一点(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)(x,y,z)和A
0
A_0A0的坐标差与方向向量就有坐标比例关系，那么就有：
x
−
x
0
=
t
m
y
−
y
0
=
t
n
z
−
z
0
=
t
p
⟹
x
−
x
0
m
=
y
−
y
0
n
=
z
−
z
0
p
=
t
x-x_0=tm\\ y-y_0=tn\\ z-z_0=tp\\ \implies \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=tx−x0=tmy−y0=tnz−z0=tp⟹mx−x0=ny−y0=pz−z0=t
这就是直线的对称式方程，也叫点向式方程。同时也容易得到参数方程：
x
=
t
m
+
x
0
y
=
t
n
+
y
0
z
=
t
p
+
z
0
x=tm+x_0\\ y=tn+y_0\\ z=tp+z_0x=tm+x0y=tn+y0z=tp+z0
直线的夹角
直线的夹角θ
\thetaθ，用方向向量的2-范数很容易求出来了。假设两个方向向量是v
1
,
v
2
\bm{v_1} , \bm{v_2}v1,v2，就可以用下面的公式了：
cos
(
θ
)
=
∣
v
1
⋅
v
2
∣
∥
v
1
∥
2
∥
v
2
∥
2
\cos(\theta)=\frac{|\bm{v_1} \cdot \bm{v_2}|}{\lVert \bm{v_1} \rVert_2\lVert \bm{v_2} \rVert_2}cos(θ)=∥v1∥2∥v2∥2∣v1⋅v2∣
这里加上绝对值是为了把钝角变成锐角,所以和线性代数里不加绝对值的公式不同。
直线与平面的夹角
对于一般的平面a
x
+
b
y
+
c
z
=
d
ax+by+cz=dax+by+cz=d，其中一个法向量就是(
a
,
b
,
c
)
(a,b,c)(a,b,c)。至于为什么，许可取平面上任意两点就能够了。假设有两点A
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
,
A
2
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
A_1(x_1,y_1,z_1),A_2(x_2,y_2,z_2)A1(x1,y1,z1),A2(x2,y2,z2)在该平面上，那么两点的坐标差就是这两点的方向向量(
x
1
−
x
2
,
y
1
−
y
2
,
z
1
−
z
2
)
(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)(x1−x2,y1−y2,z1−z2)，该方向向量和(
a
,
b
,
c
)
(a,b,c)(a,b,c)的内积为：
a
(
x
1
−
x
2
)
+
b
(
y
1
−
y
2
)
+
c
(
z
1
−
z
2
)
=
a
x
1
+
b
y
1
+
c
z
1
−
a
x
2
−
b
y
2
−
c
z
2
=
d
−
d
=
0
a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)+c(z_1-z_2)\\ =ax_1+by_1+cz_1-ax_2-by_2-cz_2\\ =d-d=0a(x1−x2)+b(y1−y2)+c(z1−z2)=ax1+by1+cz1−ax2−by2−cz2=d−d=0
平面上任意两点的方向向量都垂直于就是于(
a
,
b
,
c
)
(a,b,c)(a,b,c)这个向量，那毫无疑问是法向量了。
那么直线和平面的夹角θ
\thetaθ,假设直线的方向向量是v
1
\bm{v_1}v1，平面的法向量是v
2
\bm{v_2}v2,夹角θ
\thetaθ就能够按下面公式求了：
sin
(
θ
)
=
∣
v
1
⋅
v
2
∣
∥
v
1
∥
2
∥
v
2
∥
2
\sin(\theta)=\frac{|\bm{v_1} \cdot \bm{v_2}|}{\lVert \bm{v_1} \rVert_2\lVert \bm{v_2} \rVert_2}sin(θ)=∥v1∥2∥v2∥2∣v1⋅v2∣
浙公网安备 33010602011771号