深入解析：【优选算法必刷100题】第031~32题（前缀和算法）：连续数组、矩阵区域和
艾莉丝努力练剑：个人主页
❄专栏传送门：《C语言》、《数据结构与算法》、C/C++干货分享&学习过程记录、Linux操作系统编程详解、笔试/面试常见算法：从基础到进阶
⭐️为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平
艾莉丝的简介：
艾莉丝的算法专栏简介：
目录
031 连续数组
力扣链接：525. 连续数组
力扣题解链接：前缀和 + 哈希表解决【连续数组】问题
题目描述：
1.1 解法一：暴力解法
暴力解法就是枚举所有的子数组，然后判断子数组是否满足要求，这里不再赘述。
1.2 解法二：前缀和在哈希表中
其实这里稍微转化一下题目，就会变成我们熟悉的题——
（1）本题让我们找出一段连续的区间，和出现的次数相同；
（2）如果将0记为-1，1记为1，问题就变成了找出一段区间，这段区间的和等于0；
（3）于是，这道题就和560.和为K的子数组的思路一样了。
设 i 为数组中的任意位置，用sum[ i ]表示[0 , 1]区间中的所有元素的和。
想知道最大的【以为结尾的和为的子数组】，就要找到从左往右第一个x1使得[x1 , i]区间内的所有元素的和为0。那么[0 , x1 - 1]区间内的和是不是就是sum[i]了。于是这个问题就变成了——
找到在[0 , i - 1]区间内，第一次出现sum[ i ]的位置即可。
我们不用真的初始化一个前缀和数组，因为我们只关心在 i 位置之前，第一个前缀和等于sum[ i ]的位置。因此，我们仅需用一个哈希表，一边求当前位置的前缀和，一边记录第一次出现该前缀和的位置。
1.3 算法实现
1.3.1 C++实现
class Solution {
public:
int findMaxLength(vector& nums) {
unordered_map hash; // 创建哈希，统计前缀和出现的次数
hash[0] = -1; // 本题存的是下标，默认有一个前缀和为0的情况
// 用变量来标记一下，不用真的创建一个前缀和数组
int sum = 0,ret = 0; // ret标记最终长度
// for(auto x : nums) // 不能用这个万能for，这里是访问下标
for(int i = 0;i < nums.size();++i)
{
// 计算当前位置的前缀和
sum += nums[i] == 0 ? -1 : 1; // 三目表达式判断一下，是0就-1
if(hash.count(sum)) // 存在：如果找到sum，说明此时hash[sum]里面存了前面那个的下标
ret = max(ret,i - hash[sum]); // 更新长度，i - j即可,j就是hash[sum]
// 前面其实相当于判断过了，这里只要一个else就行
else
hash[sum] = i;
}
return ret;
}
}; 时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(1)。
1.3.2 Java实现
class Solution {
public int findMaxLength(int[] nums) {
Map hash = new HashMap();
hash.put(0, -1); // 默认存在⼀个前缀和为 0 的情况
int sum = 0, ret = 0;
for (int i = 0; i < nums.length; i++)
{
sum += (nums[i] == 0 ? -1 : 1); // 计算当前位置的前缀和
if (hash.containsKey(sum)) ret = Math.max(ret, i - hash.get(sum));
else hash.put(sum, i);
}
return ret;
}
} 时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(1)。
1.4 博主手记
本题整个的思路、算法原理、解题过程博主在纸上推导了一遍，大家可以参考一下手记的推导过程！最好做题的过程中自己也推导一遍！！！自己能够推导很重要！
032 矩阵区域和
力扣链接：1314. 矩阵区域和
力扣题解链接：二维前缀和解决【矩阵前缀和】问题
题目描述：
2.1 算法思路：二维前缀和
二维前缀和的简单应用题，关键就是我们在填写结果矩阵的时候，要找到原矩阵对应区域的【左上
角】以及【右下角】的坐标（这里艾莉丝推荐uu们画图，一目了然）——
（1）左上角坐标：x1 = i - k，y1 = j - k，但是由于会「超过矩阵」的范围，因此需要对0取一个max。因此修正后的坐标为：x1 = max(0，i - k)，y1 = max(0，j - k)；
（2）右下角坐标：x1 = i + k，y1 = j + k，但是由于会【超过矩阵】的范围，因此需要对m - 1，以及n - 1取一个min。因此修正后的坐标为：x2 = min(m - 1 , i + k)，y2 = min(n - 1 , j + k)。
然后我们将求出来的坐标代入到【二维前缀和矩阵】的计算公式上即可，但是要注意下标的映射关
系，这是本题的一个细节问题，在【博主手记】里面艾莉丝举了几个例子，大家可以看看。
2.2 算法实现
2.2.1 C++实现
class Solution {
public:
vector> matrixBlockSum(vector>& mat, int k) {
// 二维前缀和
int m = mat.size(),n = mat[0].size(); // 行和列
// 1、预处理一个前缀和矩阵
vector> dp(m + 1,vector(n + 1)); // m + 1行n + 1列，方便处理边界情况
// 填写矩阵
for(int i = 1;i <= m;i++)
for(int j = 1;j <= n;j++)
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + mat[i - 1][j - 1]; // mat这里统一是修改后的下标，要-1，-1就是为了处理下标的隐射关系
// 2、使用前缀和矩阵
vector> ret(m,vector(n)); // 跟原始矩阵同等规模
for(int i = 0;i < m;i++)
for(int j = 0;j < n;j++)
{
int x1 = max(0,i - k) + 1,y1 = max(0,j - k) + 1; // +1就是为了在dp表里面直接可以找到
int x2 = min(m - 1,i + k) + 1,y2 = min(n - 1,j + k) + 1;
// 结果
ret[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1];
}
return ret;
}
}; 时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(1)。
2.2.2 Java实现
class Solution {
public int[][] matrixBlockSum(int[][] mat, int k) {
int m = mat.length, n = mat[0].length;
// 1、预处理前缀和矩阵
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
for (int i = 1; i <= m; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] +
mat[i - 1][j - 1];
// 2、使⽤
int[][] ret = new int[m][n];
for (int i = 0; i < m; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
{
int x1 = Math.max(0, i - k) + 1, y1 = Math.max(0, j - k) + 1;
int x2 = Math.min(m - 1, i + k) + 1, y2 = Math.min(n - 1, j +
k) + 1;
ret[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] +
dp[x1 - 1][y1 - 1];
}
return ret;
}
}时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(1)。
2.3 博主手记
本题整个的思路、算法原理、解题过程博主在纸上推导了一遍，大家可以参考一下手记的推导过程！最好做题的过程中自己也推导一遍！！！自己能够推导很重要！
结尾
往期回顾：
【优选算法必刷100题】第029~30题（前缀和算法）：寻找数组的中心下标、除自身以外数组的乘积
结语：既然都看到这里啦！就请大佬不要忘记给博主来个“一键四连”哦！
博主在这里放了一只小狗，大家看完了摸摸小狗放松一下吧！
૮₍ ˶ ˊ ᴥ ˋ˶₎ა
浙公网安备 33010602011771号