有限元技巧核心原理与学习路径：从一维基础到多维拓展（七步流程）

有限元学习七步流程（系统优化版）

本文先从一维杆的核心力学关系入手，求解其应力、应变；随后介绍位移法的求解思路；在此基础上，引入试函数法，通过虚功原理与最小势能原理建立问题的弱形式；最后，对有限元法的基本计算流程进行总结。

如若希望直接了解整体流程，可跳过前面的PPT内容，从 “① 理论入门：掌握物理本质” 开始观看。

文章目录

已知: 通过给定的材料属性（如杨氏模量E EE 和截面面积 A AA）和外力 F FF，计算结构在受力下的位移u uu、应变 ϵ \epsilonϵ 和应力 σ \sigmaσ。

1、传统材料力学求解方法
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当结构较为复杂时，采用传统的材料力学方法求解将变得十分繁琐，因此引入了位移法来进行分析。

2、位移解法
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接下来将介绍有限元分析的基本解题流程。

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基础流程总结
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有限元特点在这里插入图片描述

1️⃣ 力学法的局限

最早的结构分析方法是力学法（位移解法）。
：就是它的基本思路
通过建立平衡方程 + 几何方程 + 本构关系，求解结构的位移、应变和应力分布。

这种方法理论严谨、结果精确，但困难在于——
一旦结构稍微复杂，便会出现高阶偏微分方程。
微分方程不仅难解，而且容易出错，手算几乎不可能。
因此，虽然力学法最精确，却不具备工程可操作性。

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2️⃣ 引入能量原理：摆脱微分方程

为了避免直接求解微分方程，人们引入了虚功原理和最小势能原理。
这两个原理是等价的能量法，它们允许我们绕开微分方程，借助积分求解。

核心思想是：

先假设位移函数，再用能量平衡确定未知参数。就是不再直接解微分方程，而

例如：

你能够猜位移是线性的：u ( x ) = a 0 + a 1 x u(x) = a_0 + a_1 xu(x)=a0​+a1​x

或者猜是正弦的：u ( x ) = b 0 + b 1 sin ⁡ x u(x) = b_0 + b_1 \sin xu(x)=b0​+b1​sinx

只要假设满足（或接近）边界条件，就能通过能量原理得到结构响应。
整个过程只涉及积分，不再需要解微分方程！

这就是所谓的：

“从强形式（微分方程）到弱形式（积分方程）”的转变。
具体推导过程可参考链接

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虚功原理
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最小势能原理在这里插入图片描述在这里插入图片描述

例子
一维在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

二维
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三维
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① 理论入门：掌握物理本质

建立力学三大基本关系（以一维杆为例）：

  • 平衡方程：
    d σ d x + f = 0 \frac{d\sigma}{dx} + f = 0dxdσ​+f=0

  • 几何关系：
    ε = d u d x \varepsilon = \frac{du}{dx}ε=dxdu​

  • 本构关系：
    σ = E ε \sigma = E\,\varepsilonσ=Eε

材料假设：线性弹性、均质、各向同性。
目标：明确应力–应变–位移之间的物理因果关系。

② 数学建模：位移与应变的假设

  • 假设线性位移场：
    u ( x ) = c x u(x) = c\,xu(x)=cx

  • 边界条件：
    u ( 0 ) = 0 u(0) = 0u(0)=0

  • 根据力平衡和边界条件：
    c = P E A c = \frac{P}{E A}c=EAP​

  • 因此：
    ε = d u d x = P E A , σ = E ε = P A \varepsilon = \frac{du}{dx} = \frac{P}{E A}, \quad \sigma = E\varepsilon = \frac{P}{A}ε=dxdu​=EAP​,σ=Eε=AP​

③ 能量法与虚功原理：建立变分关系

采用势能极值原理：
Π ( u ) = U − W \Pi(u) = U - WΠ(u)=U−W

平衡条件由：
δ Π = 0 ⇒ δ U = δ W \delta \Pi = 0 \quad \Rightarrow \quad \delta U = \delta WδΠ=0⇒δU=δW

对于杆件问题：
u ( x ) = P E A x , ε = P E A , σ = P A u(x) = \frac{P}{E A}x, \quad \varepsilon = \frac{P}{E A}, \quad \sigma = \frac{P}{A}u(x)=EAP​x,ε=EAP​,σ=AP​

⚙️ 虚功原理推导过程

(1) 虚功方程

δ U = δ W \delta U = \delta WδU=δW

(2) 应变能变化

δ W = P ( x ) δ u ( x ) \delta W = P(x)\,\delta u(x)δW=P(x)δu(x)

δ U = δ ( 1 2 ∫ Ω σ ( x ) ε ( x ) d V ) \delta U = \delta \left( \frac{1}{2} \int_{\Omega} \sigma(x)\,\varepsilon(x)\, dV \right)δU=δ(21​∫Ω​σ(x)ε(x)dV)

(3) 试函数

u ( x ) = c x ⇒ δ u ( x ) = δ c ⋅ x u(x) = c\,x \quad \Rightarrow \quad \delta u(x) = \delta c \cdot xu(x)=cx⇒δu(x)=δc⋅x

σ ( x ) = E ε ( x ) ⇒ δ σ ( x ) = E ⋅ δ c \sigma(x) = E\,\varepsilon(x) \quad \Rightarrow \quad \delta\sigma(x) = E \cdot \delta cσ(x)=Eε(x)⇒δσ(x)=E⋅δc

ε ( x ) = d u d x ⇒ δ ε ( x ) = δ c \varepsilon(x) = \frac{du}{dx} \quad \Rightarrow \quad \delta\varepsilon(x) = \delta cε(x)=dxdu​⇒δε(x)=δc

(4) 应变能变化计算

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(5) 平衡结果

c = P E A , ε ( x ) = P E A , σ ( x ) = P A , u ( x ) = P E A x c = \frac{P}{E A}, \quad \varepsilon(x) = \frac{P}{E A}, \quad \sigma(x) = \frac{P}{A}, \quad u(x) = \frac{P}{E A}xc=EAP​,ε(x)=EAP​,σ(x)=AP​,u(x)=EAP​x

⚙️ 最小势能原理推导

(1) 最小势能原理

min ⁡ u ( x ) ∈ B C ( u ) [ Π ( u ) = U − W ] \min_{u(x) \in BC(u)} \big[\, \Pi(u) = U - W \,\big]u(x)∈BC(u)min​[Π(u)=U−W]

(2) 环境应变能

U = 1 2 ∫ Ω σ ( x ) ε ( x ) d V U = \frac{1}{2} \int_{\Omega} \sigma(x)\,\varepsilon(x)\, dVU=21​∫Ω​σ(x)ε(x)dV

(3) 系统外力势能

− W = − P ⋅ u ( x = l ) -W = -P \cdot u(x = l)−W=−P⋅u(x=l)

(4) 势能函数

Π ( u ) = 1 2 E c 2 A l − P c l \Pi(u) = \frac{1}{2} E\, c^2\, A\, l - P\, c\, lΠ(u)=21​Ec2Al−Pcl

(5) 取极值条件

∂ Π ∂ c = 0 \frac{\partial \Pi}{\partial c} = 0∂c∂Π​=0

(6) 试函数与结果

u ( x ) = c x , ε ( x ) = c , c = P E A u(x) = c\,x, \quad \varepsilon(x) = c, \quad c = \frac{P}{E A}u(x)=cx,ε(x)=c,c=EAP​

同样得到：
ε ( x ) = P E A , σ ( x ) = P A , u ( x ) = P E A x \varepsilon(x) = \frac{P}{E A}, \quad \sigma(x) = \frac{P}{A}, \quad u(x) = \frac{P}{E A}\, xε(x)=EAP​,σ(x)=AP​,u(x)=EAP​x

④ 弱形式与有限元基础

由强形式（微分方程）通过分部积分得到弱形式：
∫ 0 L E A d u d x d v d x d x = ∫ 0 L f v d x + [ T ˉ v ] L \int_0^L EA \frac{du}{dx}\frac{dv}{dx}dx = \int_0^L f\,v\,dx + [\bar{T}v]_L∫0L​EAdxdu​dxdv​dx=∫0L​fvdx+[Tˉv]L​

边界条件：

  • 本质边界条件：直接作用于位移，如u ( 0 ) = 0 u(0) = 0u(0)=0；
  • 自然边界条件：由弱式自动包含，如σ ( L ) = T ˉ \sigma(L) = \bar{T}σ(L)=Tˉ。

⑤ 有限元离散与矩阵方程

  • 单元内位移近似：
    u ( ξ ) = N 1 u 1 + N 2 u 2 , N 1 = 1 − ξ , N 2 = ξ u(\xi) = N_1 u_1 + N_2 u_2, \quad N_1 = 1 - \xi, \; N_2 = \xiu(ξ)=N1​u1​+N2​u2​,N1​=1−ξ,N2​=ξ

  • 单元刚度矩阵：
    K e = ∫ 0 L B T E A B d x = E A L [ 1 − 1 − 1 1 ] K_e = \int_0^L B^T E A B\,dx = \frac{E A}{L} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}Ke​=∫0L​BTEABdx=LEA​[1−1​−11​]

  • 全局组装：按节点连接关系叠加K e K_eKe​形成整体刚度矩阵K KK。

⑥ 数值计算与验证

  • 通过求解线性方程：
    K U = F K U = FKU=F
    得到节点位移。

  • 计算应变与应力：
    ε = B U e , σ = E ε \varepsilon = B U_e, \quad \sigma = E \varepsilonε=BUe​,σ=Eε

  • 与解析解对比，验证有限元解的正确性。

⑦ 知识融合与高维扩展

（1）从一维到二维的推广

二维问题常见于平面应力与平面应变状态：

u = u ( x , y ) , v = v ( x , y ) u = u(x, y), \quad v = v(x, y)u=u(x,y),v=v(x,y)

几何方程（应变–位移关系）：
ε x = ∂ u ∂ x , ε y = ∂ v ∂ y , γ x y = ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x \begin{aligned} \varepsilon_x &= \frac{\partial u}{\partial x}, \\ \varepsilon_y &= \frac{\partial v}{\partial y}, \\ \gamma_{xy} &= \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \end{aligned}εx​εy​γxy​​=∂x∂u​,=∂y∂v​,=∂y∂u​+∂x∂v​​

矩阵形式：

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平面应力本构关系：
D plane-stress = E 1 − ν 2 [ 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν 2 ] \mathbf{D}_{\text{plane-stress}} = \frac{E}{1-\nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}Dplane-stress​=1−ν2E​​1ν0​ν10​0021−ν​​​

平面应变本构关系：
D plane-strain = E ( 1 − ν ) ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) [ 1 ν 1 − ν 0 ν 1 − ν 1 0 0 0 1 − 2 ν 2 ( 1 − ν ) ] \mathbf{D}_{\text{plane-strain}} = \frac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1 & \frac{\nu}{1-\nu} & 0 \\ \frac{\nu}{1-\nu} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2(1-\nu)} \end{bmatrix}Dplane-strain​=(1+ν)(1−2ν)E(1−ν)​​11−νν​0​1−νν​10​002(1−ν)1−2ν​​​

二维单元刚度矩阵：
K e = ∫ V B T D B d V \mathbf{K}_e = \int_V \mathbf{B}^T \mathbf{D} \mathbf{B}\, dVKe​=∫V​BTDBdV

（2）三维问题的拓展

三维位移场：
u = u ( x , y , z ) , v = v ( x , y , z ) , w = w ( x , y , z ) u = u(x,y,z), \quad v = v(x,y,z), \quad w = w(x,y,z)u=u(x,y,z),v=v(x,y,z),w=w(x,y,z)

应变分量：
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三维线弹性本构矩阵：
D 3 D = E ( 1 − ν ) ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) [ 1 ν 1 − ν ν 1 − ν 0 0 0 ν 1 − ν 1 ν 1 − ν 0 0 0 ν 1 − ν ν 1 − ν 1 0 0 0 0 0 0 1 − 2 ν 2 ( 1 − ν ) 0 0 0 0 0 0 1 − 2 ν 2 ( 1 − ν ) 0 0 0 0 0 0 1 − 2 ν 2 ( 1 − ν ) ] \mathbf{D}_{3D} = \frac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1 & \frac{\nu}{1-\nu} & \frac{\nu}{1-\nu} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{\nu}{1-\nu} & 1 & \frac{\nu}{1-\nu} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{\nu}{1-\nu} & \frac{\nu}{1-\nu} & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2(1-\nu)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2(1-\nu)} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1-2\nu}{2(1-\nu)} \end{bmatrix}D3D​=(1+ν)(1−2ν)E(1−ν)​​11−νν​1−νν​000​1−νν​11−νν​000​1−νν​1−νν​1000​0002(1−ν)1−2ν​00​00002(1−ν)1−2ν​0​000002(1−ν)1−2ν​​​

三维单元刚度矩阵：
K e = ∫ V B T D 3 D B d V \mathbf{K}_e = \int_V \mathbf{B}^T \mathbf{D}_{3D} \mathbf{B}\, dVKe​=∫V​BTD3D​BdV

典型单元包括四面体、六面体、棱柱体等，通过三维高斯积分计算。

✅ 总结

一维问题奠定理论基础，二维与三维扩展实现真实工程模拟。
：就是其核心始终
“几何方程 + 本构关系 + 平衡方程 → 弱形式 → 数值离散”

参考
通俗易懂的有限元基础原理
有限元法基础-福州大学

posted @ 2025-11-25 20:39  yangykaifa  阅读(12)  评论(0)    收藏  举报