Davor的北极探险资金筹集：数学建模与算法优化(洛谷P4956） - 教程

题目思考逻辑与分析路径

这道题目看似简单，实则蕴含着等差数列求和与整数约束优化的数学精髓。我们需要为Davor设计一个52周的资金筹集计划，满足特定数学关系。

问题本质理解

1. 资金积累模式：每周存款构成一个7项的等差数列
   • 周一：X
   • 周二：X+K
   • ...
   • 周日：X+6K
2. 时间跨度：52周共364天（52×7）
3. 数学建模：总金额N与X、K的关系推导

数学建模与公式推导

周存款总额计算

每周存款构成等差数列，其总和为：

每周总和 = 7X + (0+1+2+...+6)K
         = 7X + 21K

52周总金额方程

总金额 N = 52 × (7X + 21K)
         = 364X + 1092K

变量约束条件

1. X ≤ 100
2. K > 0
3. X, K均为整数

算法设计与实现

解法一：双重循环枚举（基础版）

#include 
using namespace std;
int main() {
    int N;
    cin >> N;
    for(int X = 100; X >= 1; X--) {  // X从大到小枚举
        for(int K = 1; ; K++) {      // K从小到大枚举
            int total = 364*X + 1092*K;
            if(total == N) {
                cout << X << endl << K;
                return 0;
            }
            if(total > N) break;  // 超过则停止当前X的枚举
        }
    }
    return 0;
}

解法二：数学优化（单层循环）

#include 
using namespace std;
int main() {
    int N;
    cin >> N;
    for(int X = min(100, N/364); X >= 1; X--) {
        if((N - 364*X) % 1092 == 0) {
            int K = (N - 364*X) / 1092;
            if(K > 0) {
                cout << X << endl << K;
                return 0;
            }
        }
    }
    return 0;
}

关键考核点分析

1. 数学建模能力（⭐⭐⭐⭐⭐）

• 将实际问题转化为等差数列求和问题
• 建立正确的数学关系式（364X + 1092K = N）
• 理解题目对解的特殊要求（X最大、K最小）

2. 循环优化技巧（⭐⭐⭐⭐）

• 循环方向选择：X从大到小枚举确保X最大
• 提前终止条件：总和超过N时立即跳出内层循环
• 数学变形优化：将双重循环转为单层循环

3. 边界条件处理（⭐⭐⭐）

• X的上界处理（X ≤ 100）
• K的正整数约束（K > 0）
• 整数解的存在性保证（题目说明解必然存在）

测试用例验证

输入N	预期输出(X,K)	验证要点
1456	(1,2)	最小值测试
6188	(14,1)	中等规模
40404	(99,4)	最大X值测试
36400	(100,0)	边界检查（K需>0）
4732	(13,0)	无解情况处理（题目保证有解）

竞赛技巧总结

1. 数学先行原则：先推导数学关系再编码
2. 逆向枚举策略：求最大值时从上限开始枚举
3. 计算优化技巧：

   // 用乘法代替重复加法
   364*X + 1092*K 优于 52*(7*X + 21*K)

4. 输入范围分析：
   • 当X=100时，最小N=364×100 + 1092×1 = 47452
   • 当X=1时，最大N=364×1 + 1092×145600/1092 ≈ 145600

拓展思考

变形问题1：多解情况处理

如果题目不要求X最大K最小，如何找出所有解？

vector> solutions;
for(int X=1; X<=100; X++) {
    if((N - 364*X) % 1092 == 0) {
        int K = (N - 364*X) / 1092;
        if(K > 0) solutions.emplace_back(X,K);
    }
}

变形问题2：非固定周数

如果周数不固定为52周，如何设计算法？

• 引入周数变量W
• 方程变为：N = W*(7X + 21K)
• 需要额外循环枚举W的可能值

"算法竞赛中，数学建模往往能化繁为简，将O(n²)问题降为O(n)问题" —— 通过这道题，我们看到了数学分析对算法优化的重要性

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