差分约束讲解

差分约束讲解

——by ysy

1.前置知识

        因为差分约束是基于\(spfa\)的一种解不等式，或等式组的技巧，所以差分约束的前置知识就是\(spfa\)和对不等式的简单小变换。

2.讲解

​        因为差分约束只是一个技巧，所以在这里我先讲解技巧，之后再讲解例题。

建图技巧

​        我们将不等式组分为两种：\(A \le B+val\)以及\(A\ge B+val\)。

​        现在讨论第一种\(A\le B+val\)，我们在建图时\(B \rightarrow A\)建边，边权为\(val\)，所有的不等式都像这样建边的话，我们可以在建出的图上跑最短路。

        现在为第二种\(A\ge B+val\)，我们在建图时\(B \rightarrow A\)建边，边权为\(val\)，所有的不等式都像这样建边的话，我们可以在建出的图上跑最长路。

​        如果我所有的式子给出的时候不是都为第一种或者第二种呢？如果不将式子的形式统一的话，就没法在建出来的图上单纯的跑最短路或者最长路。所以我们就需要将所有的式子的形式进行统一。

​        讨论完不等式了，就剩下等式。\(A=B\)我们就以这个为例。等式可以化成不等式组\(A\le B\&\& A \ge B\)。我们将这个不等式组转化成为图就是$B \rightarrow A $，边权为\(0\)，同时加另一条边\(A \rightarrow B\)，边权为\(0\)。这样一个等式就化为不等式的形式了。

        我在上面写的都是大于等于或者小于等于的情况，如果是大于或者小于的情况怎么办？我在这里以大于为例：\(A\gt B \rightarrow A \ge B +1\)。我们只需要将式子化成为带等于的形式就可以了。

3.例题

1）题目链接

​        我们看这道题目，会发现题目之中有三个限制\(X_a \ge X_b+c\)，\(X_a \le X_b+c\)，\(X_a=X_b\)。我们们根据这三个性质能建出来一个图。第一个条件就是$a \rightarrow b \(，边权为\)-c\(。第二个条件就是\)b \rightarrow a\(，边权为\)c\(。第三个条件就是\)a\rightarrow b \(和\)b\rightarrow a$边权都为\(0\)。

​        因为我们要判断能否成立，所以我们只需要在我们建出的图上跑最短路，并且判断是否有负环，如果有则输出\(No\)，否则输出\(Yes\)。因为要判断负环，所以我们很容易想到\(spfa\)。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 10010
#define M 10010
#define inf1 1000000000
#define inf2 900000000
int n,m;
int head[N],nxt[M<<2],to[M<<2],val[M<<2];
int dis[N],idx;bool vis[N],is;
void add(int a,int b,int c)
{nxt[++idx]=head[a],to[idx]=b,val[idx]=c,head[a]=idx;}
void spfa(int p)
{
    vis[p]=true;
    for(int i=head[p];i;i=nxt[i])
    {
        if(dis[to[i]]<=dis[p]+val[i]) continue;
        dis[to[i]]=dis[p]+val[i];
        if(vis[to[i]]||is) {is=true;return;}
        spfa(to[i]);
    }vis[p]=false;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int kind,a,b,c;
        scanf("%d",&kind);
        if(kind==1) scanf("%d%d%d",&a,&b,&c),c=-c;
        else if(kind==2) scanf("%d%d%d",&a,&b,&c),swap(a,b);
        else scanf("%d%d",&a,&b),c=0,add(b,a,c);
        add(a,b,c);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=inf1;
    for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=0,spfa(i);
    if(is) printf("No\n");
    else printf("Yes");
}

我有时间的话，例题会持续更下去。这是本人的见解。有问题可以评论问我。