可并堆讲解

可并堆讲解

　　注：本篇博客以大根堆为例。

　　可并堆，顾名思义，就是可以合并的堆。堆满足一个性质，就是当前节点，都大于或者等于他的所有子树上的节点，自然在这里我所讲的是结点的权值。显而易见，既然可并堆是堆的一种，容易推出，可并堆也满足这个性质。

　　现在思考一个问题，当题目里需要合并两个堆的时候，该如何合并呢？如果只是普通的堆的话，我们可以运用启发式合并的思想，每一次把size小的堆的点暴力插入到size大的堆里面，这个方法十分不优秀，时间复杂度是O(nlog2n)。所以我们会用可并堆来实现这个问题。

　　可并堆是一种运用到左偏树思想的堆，何为左偏树？左偏树顾名思义就是偏向左面的树，如左图就是一棵左偏树，这棵树明显满足一个性质。我们定义dis[p]为从p节点出发可以向右走的最大步数，从右图中可以看到，当前点的左儿子的dis值都比右儿子的dis值大，只要满足这个性质就是左偏树。

　　学过左偏树之后，我们就可以学习可并堆了，可并堆的难点就是合并，那么应该如何合并呢？为了能保证时间复杂度，我们每一次合并都应该把新的节点放在当前的节点的右儿子上，这个是一个递归的过程，每一次把当前的两个节点进行比较，留下权值大的点，然后递归下去把另一个点和留下的点的右儿子进行比较，如此下去，进行合并。当然每一次回溯之前，我们都需要判断当前节点的左右两个儿子的dis值，如果右儿子的dis值大于左儿子的dis值，则交换左右儿子。

int merge(int x,int y)
{
    if(!x) return y;
    if(!y) return x;
    if(num[x]<num[y]) swap(x,y);
    son[x][1]=merge(son[x][1],y);
    if(dis[son[x][1]]>dis[son[x][0]])
        swap(son[x][1],son[x][0]);
    dis[x]=dis[son[x][1]]+1;
    return x;
}
//son[p][0]表示p号节点的左儿子
//son[p][1]表示p号节点的右儿子
//num[p]表示p号节点的权值

　　下面就是删除节点（最大值），只需要把他的两个儿子合并就好啦，是不是很简单？代码就不附了，具体题目具体分析。

　　大致就是这样，不会的可以评论发问题，我会解答。

题目（我会不断更新）

　　bzoj1455&&luogu2713罗马游戏：http://www.cnblogs.com/yangsongyi/p/8893005.html

　　APIO2012派遣：http://www.cnblogs.com/yangsongyi/p/8921448.html

　　JLOI2015城池攻占：http://www.cnblogs.com/yangsongyi/p/9046913.html