[codevs4247]奇特的生物

题目描述 Description

科学家们最近发现了一种奇怪的生物,它们每天长大一岁,刚出生的宝宝为1岁,且它们的年龄没有上限。已知年龄为1岁,2岁,3岁,……,k岁的个体具有生育能力,当年龄为i的具有生育能力的个体将长大一岁时会生下ai个1岁的幼崽。假设第一天只有一个年龄为1的幼崽,现在科学家们想知道第x天年龄为y的个体有多少,但由于该物种增长速度太快,于是他们将这个任务交给了你。由于这个数可能很大,你需要对p取模。

 

输入描述 Input Description

输入数据第一行给定四个整数k,x,y,p。

第二行包括k个整数,第i个整数代表ai。

 

输出描述 Output Description

输出数据包含一行,表示第x天年龄为y的个体的数量对p取模后的结果。

 

样例输入 Sample Input

【样例输入 1】

3 3 1 1007

1 1 1

【样例输入 2】

3 6 2 1007

1 2 1

 

样例输出 Sample Output

【样例输出1】

2

【样例输出 2】

13

 

数据范围及提示 Data Size & Hint

题目来源

　　CODEVS ROUND4 月赛

思路（官方解释）

　　

题目要求我们求第x天年龄为y的个体数量，我们可以等价为求第x-y+1天1岁的个体数量。

 

暴力写法就是递推，我们从第一天开始算，一天一天往后推每个年龄的个体数量。

 

这里我们可以看到有一个不足之处，我们没有必要记录年龄大于k的个体数量，因为他们没有生育能力，不会影响后面，而且我们只要求x-y+1天的1岁的个体数量。

 

所以每一天我们都只要记录年龄为1到k的个体数量。

 

设F[i,j]为第i天年龄为j的个体数量，初始F[1,1]=1。

 

递推式为

F[i+1,1]=F[i,1]+F[i,2]+……+F[i,k]

F[i+1,j]=F[i,j-1](j>1)

 

对于这种递推方程式固定的递推，我们可以用矩阵快速幂来加速。

PS:如果不知道矩阵快速幂的话就看一看矩阵乘法怎么运算，然后利用矩阵乘法满足结合律，就可以用类似快速幂的方法来加速。

 

具体做法就是用一个1*k的矩阵乘以k*k的矩阵的x-y次方，最后得到一个1*k的矩阵，这个矩阵里面就是x-y+1天1到k岁的个体数量。

 

对于取模运算，因为我们操作的时候涉及到的运算只有加和乘，边做边取模就可以了。

 

时间复杂度O(k^3*log(x-y))