在信道均衡ZF均衡和MMSE均衡算法中，信道矩阵方阵和不是方阵时，信道矩阵求逆方法

在信道均衡中，ZF（迫零）和MMSE（最小均方误差）算法通过信道矩阵的逆或伪逆来消除干扰或最小化误差。信道矩阵是否方阵直接影响求逆方法，以下是详细分析：

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1. 信道矩阵为方阵（M×M）

假设信道矩阵 H 是方阵（例如单用户MIMO系统中，发射和接收天线数均为M）。

(1) ZF均衡（Zero Forcing）

ZF均衡的目标是直接反转信道矩阵以消除干扰，均衡矩阵为：
[
W_{\text{ZF}} = H^{-1}
]

• 条件：H必须可逆（满秩且行列式非零）。
• 效果：完全消除干扰，但可能放大噪声（尤其在低信噪比时）。

(2) MMSE均衡（Minimum Mean Square Error）

MMSE均衡考虑噪声影响，均衡矩阵为：
[
W_{\text{MMSE}} = \left( H^H H + \sigma^2 I \right)^{-1} H^H
]

• 参数：σ²为噪声方差，I为M×M单位矩阵。
• 特点：在噪声抑制和干扰消除间权衡，性能优于ZF在高噪声场景。

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2. 信道矩阵为非方阵（M×N，M≠N）

常见于多用户MIMO或天线数不等的系统（如基站天线数N，用户天线数M）。

(1) ZF均衡

当 H 非方阵时，需用 Moore-Penrose伪逆 替代逆矩阵：

• 若 H 列满秩（M > N）：
  [
  W_{\text{ZF}} = (H^H H)^{-1} H^H
  ]
  适用于接收天线数多于发射天线（超定方程组）。

• 若 H 行满秩（M < N）：
  [
  W_{\text{ZF}} = H^H (H H^H)
  ]
  适用于发射天线数多于接收天线（欠定方程组，需最小范数解）。

(2) MMSE均衡

无论H是否方阵，MMSE均衡统一使用正则化伪逆：
[
W_{\text{MMSE}} = \left( H^H H + \sigma^2 I \right)^{-1} H^H \quad (\text{当 } M > N)
]
[
W_{\text{MMSE}} = H^H \left( H H^H + \sigma^2 I \right)^{-1} \quad (\text{当 } M < N)
]

• 核心思想：通过添加噪声项σ²I保证矩阵可逆，避免H^H H或H H^H奇异。
• 维度匹配：噪声项I的维度需与H^H H或H H^H一致（分别为N×N或M×M）。

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3. 关键区别与注意事项

场景	ZF均衡	MMSE均衡
方阵（M=N）	直接求逆 ( H^{-1} )	正则化逆 ( (H^H H + \sigma^2 I)^{-1} H^H )
非方阵（M>N列满秩）	左伪逆 ( (H^H H)^{-1} H^H )	同ZF结构，加入噪声项σ²I
非方阵（M<N行满秩）	右伪逆 ( H^H (H HH) )	( H^H (H H^H + \sigma^2 I)^{-1} )

注意事项：

1. 数值稳定性：当 ( H^H H ) 接近奇异时，ZF可能不稳定，MMSE通过σ²I改善条件数。
2. 计算复杂度：伪逆计算复杂度高，实际中常用Cholesky分解或SVD加速。
3. 物理意义：
   • ZF强制干扰为零，适用于高信噪比。
   • MMSE最小化均方误差，适用于噪声显著场景。

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4. 示例场景

(1) 上行MIMO（基站天线数N > 用户天线数M）

• 信道矩阵：H为N×M（列满秩）。
• ZF均衡：( W_{\text{ZF}} = (H^H H)^{-1} H^H ).
• MMSE均衡：( W_{\text{MMSE}} = (H^H H + \sigma^2 I)^{-1} H^H ).

(2) 下行大规模MIMO（基站天线数N，单天线用户M=1）

• 信道矩阵：H为1×N（行满秩）。
• ZF均衡：( W_{\text{ZF}} = H^H (H H^H) ).
• MMSE均衡：( W_{\text{MMSE}} = H^H (H H^H + \sigma^2 I)^{-1} ).

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总结

• 方阵：直接求逆（ZF）或正则化求逆（MMSE）。
• 非方阵：根据秩条件选择左/右伪逆，MMSE通过噪声项保证可逆性。
• 核心公式：伪逆与噪声正则化是处理非方阵的关键，实际系统需结合信噪比和计算资源选择均衡算法。