线性方程组的解

给出一个方程组，有 $n$ 个未知数，$m$ 个方程：

$$a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ... + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ... + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\
... \\
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ... + a_{mn}x_{n} = b_{m}$$

考察增广矩阵，并按列分块：

$$A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b_{1} \\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & b_{2} \\
... & ... & ... & ... & ...\\
a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} & b_{m}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\alpha_{1} & \alpha_{2} & ... & \alpha_{n} & \beta
\end{bmatrix}$$

研究这个之前，先介绍一个线性表出的性质：

若 $m$ 维向量 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n}$ 线性无关，而 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n},\beta$ 线性相关，则 $\beta$ 可由 $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n}$ 线性表出，且表示法唯一。

分析：$n$ 个 $m$ 维的向量线性无关，这说明 $m \geq n$，且这 $n$ 个向量是其所构成的 $n$ 维线性空间中的一组基。

如果 $\beta$ 也在这一个 $n$ 维空间内，那自然可以被表示，且表示法唯一。如果 $\beta$ 不属于这个线性空间，那便无

法被表示。由于条件：

$$r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n} \;|\; \beta) = r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n}) = n$$

由于 $\alpha_{i}$ 处于一个 $n$ 维线性空间中，而 $\alpha_{i}$ 和 $\beta$ 同处于一个 $n$ 维空间中，所以 $\beta$ 属于 $\alpha_{i}$ 向量确定的 $n$ 维线性空间中。

于是我们可以说：只要 $r(A) = r(A \;|\; \beta)$，那么向量 $\beta$ 就处于矩阵 $A$ 的列向量所确定的线性空间中。

关于方程组解的结论：

    1）$r(A) = r(A \;|\; \beta) = n$：方程组有唯一解。这一点可以通过上面的结论得到。

    2）$r(A) = r(A \;|\; \beta) = p < n$：则所有这些向量都位于一个 $p$ 维的线性空间中，可以从矩阵 $A$ 中找出任意 $p$ 个线性无关的列向量

       来构成这个空间中的一组基，由于 $\beta$ 也在这个空间中，所以 $\beta$ 能被选定的列向量唯一表示。那为什么有无穷个解呢？

       在矩阵 $A$ 中取线性无关的 $p$ 个向量作为 $p$ 维空间的基，那剩下的 $n-p$ 个向量自然可以被选出来的基表示，对应的 $n-p$ 个

       未知数称为自由元，不论剩余向量前面的系数取什么值，这些向量的影响都可以被基取对应系数消去，故解就有无穷个。

    3）$r(A) + 1 = r(A \;|\; \beta)$：说明 $\beta$ 不在矩阵 $A$ 的列向量构成的线性空间中(封闭性)，故无法被表示，即无解。