介值定理

最值定理和介值定理共有前提：函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上是连续函数。这个前提下面不再赘述。

 

1. 最值定理

   只要前提满足，则必存在实数 $m$ 和 $M$，使得

$$m \leq f(x) \leq M$$

   $m$ 为函数在区间上的最小值，$M$ 为最大值。换句话说：闭区间上的连续函数是一个有界函数，必定存在最大值和最小值。

 

2. 介值定理

   函数 $f(x)$ 在区间的端点取函数值 $f(a)=A,f(b)=B$，且 $A \neq B$，那么当 $C \in (A,B)$ 时，至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使

$$f(\xi) = C$$

   为什么需要指明 $A \neq B$ 呢？因为假如 $A = B$，那这个点在开区间内不一定存在，可以这样改：

   当 $C \in [A,B]$ 时，至少存在一点 $\xi \in [a,b]$，使

$$f(\xi) = C$$

   注：第一种定义明确了 $\xi$ 会在区间内部，而第二种定义 $\xi$ 可能会出现在区间端点。

 

将介值定理和最值定理结合起来：

   1）对闭区间先使用最值定理，因为闭区间上的连续函数有界并且能取得最大值和最小值。

   2）再对最大值点和最小值点所在的子闭区间使用介值定理，即当 $m \leq C \leq M$ 时，该子闭区间上至少存在一点 $\xi$，使得 $f(\xi) = C$。

   既然子区间有这个性质，那扩展到整个区间，就得到一个关于介值定理的推论：

   闭区间 $[a,b]$ 上连续的函数 $f(x)$，函数最大值 $M$，最小值 $m$，则当 $C$ 满足 $m \leq C \leq M$，在闭区间上必存在一点 $\xi$ 满足

$$f(\xi) = C,\xi \in [a,b]$$