函数极限

设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某一个去心邻域(不包括 $x_{0}$ )有定义，如果存在常数 $A$，对于给定的任意正数 $\varepsilon$ (无论它多么小)，

总存在正数 $\delta$，使得当 $x$ 满足 $0 < |x-x_{0}| < \delta$ 时，总有

$$|f(x) - A| < \varepsilon$$

换句话说：总存在 $x_{0}$ 的一个邻域，邻域内的点都满足 $f(x)$ 到 $A$ 的距离小于给定值 $\varepsilon$。

自变量和函数是同步的，$x$ 越趋近 $x_{0}$，$f(x)$ 就越趋近 $A$，但逼近是无法划等号的，总有误差存在，即得不到精确值。

于是引入极限的概念。将上述 $x$ 逼近 $x_{0}$ 的过程定义为极限，用 $lim$ 符号描述，此时极限值和逼近值可以划等号：

$$x\rightarrow x_{0},\;f(x) \rightarrow A$$

$$x\rightarrow x_{0},\;f(x) \neq A$$

$$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) = A$$

可以发现，某点处极限存不存在和该点是否定义无关。

极限描述了一个动态的无限逼近的过程，但又于纯粹的逼近不同，逼近是近似的，但极限是精确的。逼近的误差是一个无穷小量，记为 $\alpha $，于是

$$f(x) = A + \alpha$$

$$\lim_{x\rightarrow x_{0}}\alpha  = 0$$

来进一步探究一下这个逼近过程：

$x\rightarrow x_{0}$ 代表两层含义，即 $x$ 从小于 $x_{0}$ 的一边趋于 $x_{0}$ 和从大于 $x_{0}$ 的一边趋于 $x_{0}$，所以要使极限值存在，则必须满足 $x$ 从两

个方向逼近到 $x_{0}$，函数值都会趋于一个相同的值，即左极限 $=$ 右极限：

$$\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x) = \lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x) = A$$

 

极限的性质

    1）局部保号性：设 $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) = A$，若 $A > 0$，则存在一个 $x_{0}$ 的去心邻域，满足 $f(x) > 0$。

       这个性质是通过函数在某点极限的符号，来得到函数在该点邻域内的符号。