技巧和性质

感觉有太多技巧和性质，有必要记录一下。

• RainFestival树，挺有意思。

• 倒推期望或博弈（简单的道理，但是经常忘以至于做不起 ABC 的 E）。AT_abc314_e [ABC314E] Roulettes

• Boruvka 解决奇怪的完全图生成树。CF888G Xor-MST

• 启发式合并/分裂。P3201 [HNOI2009] 梦幻布丁

• 双栈尺取，适用于插入简单，删除困难的题目。CF1548B Integers Have Friends

• 修改与查询的复杂度平衡。CF1097F Alex and a TV Show

• Lucas 定理，组合数奇偶性：\({n \choose m}\) 为奇数当且仅当 \(n \& m = 1\)。AT_arc156_d [ARC156D] Xor Sum 5

• 值域为 \(2^k\) 的集合的按位或最小数对在最小的 \(k\) 个数中选择。CF1665E MinimizOR

• bitset。CF1854B Earn or Unlock

• 线段树分治转删除为插入。CF1140F Extending Set of Points

• 第二类斯特林数转化 \(x^k=\sum\limits_{i=0}^{k}{x \choose i}{k \brace i}i!\)。P6620 [省选联考 2020 A 卷] 组合数问题

• 对于 DP 中难以计算的转移，考虑费用提前计算，对于难以提前计算的量，考虑增加维数钦定一些变量以方便计算。AT_abc219_h [ABC219H] Candles

• 根号分治。P5901 [IOI2009] Regions

• 对于位运算相关题目拆位分别考虑贡献。AT_arc092_b [ABC091D] Two Sequences

• 排列计数的常见 DP 状态：填完前 \(i\) 个位置，且第 \(i\) 个位置在前 \(i\) 个位置中排名为 \(j\)。AT_abc209_f [ABC209F] Deforestation

• 前后缀优化建图。P3227 [HNOI2013] 切糕

• 动态问题转静态的常见方法：

  • 在线：二进制分组+暴力重构 CF710F String Set Queries。
  • 离线：按时间 CDQ 分治 P3206 [HNOI2010] 城市建设，整体二分化动态最值为静态判定 AT_agc002_d [AGC002D] Stamp Rally。

• 以区间最值为贡献的序列划分问题，用单调栈和数据结构维护 DP。P1295 [TJOI2011] 书架

• 对于线段树上区间加，区间特定值数量查询无法维护，但可能可以转化为区间最值数量查询。AT_abc248_h [ABC248Ex] Beautiful Subsequences

• 对于有向图博弈，若两人目标分别为最大化与最小化，可以考虑 dijkstra 与 toposort 的缝合，使得能够同时维护最大与最小值。P9169 [省选联考 2023] 过河卒

• 众所周知，期望是概率的倒数。CF1753C Wish I Knew How to Sort

• 最大异或路径。P4151 [WC2011] 最大XOR和路径

• 链加单点查和单点加子树查的互相转化。P4219 [BJOI2014] 大融合

• 范德蒙德卷积，\(\sum\limits_{i}{ n\choose i}{m \choose k-i}={n+m \choose k}\)。AT_abc290_f [ABC290F] Maximum Diameter

• 树上背包。P4516 [JSOI2018] 潜入行动

• 数位 DP，第 i 位进位的一定是按末 i 位排序后的一个前缀。AT_arc153_d [ARC153D] Sum of Sum of Digits