联赛测试3 3.27

C. 太阳神

首先第一个灰常灰常奇妙的操作就没有想到——计算补集。由于大于这个条件不好满足，可以变为小于等于。

于是开始推柿子：

\(\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits _ {j=1}^ {n}[lcm(i,j)\le n]\)

\(=\sum\limits_{d=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits _ {j=1}^ {n}[\frac{ij}{d}\le n ][\gcd(i,j)=d]\)

\(=\sum\limits_{d=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n/d}\sum\limits _ {j=1}^ {n/d}[ijd\le n ][\gcd(i,j)=1]\)

\(=\sum\limits_{d=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n/d}\sum\limits _ {j=1}^ {n/d}[ijd\le n ]\sum\limits_{k|i,k|j}\mu(k)\)

\(=\sum \limits_{d=1}^{n}\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{d}}\mu(k)\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{kd}}\sum \limits_ {j=1}^ {\frac{n}{kd}}[ijdk^2\le n ]\)

\(=\sum \limits_{k=1}^{\sqrt{n}}\mu(k)\sum \limits_{d=1}^n\sum \limits_{i=1}^n\sum \limits_{j=1}^n [ijd\le \frac{n}{k^2}]\)