中国剩余定理介绍

学数论中我们听说过中国剩余定理，也称孙子定理
那么它到底是什么呢？自搜百度百科

好了开始讲~

首先の铺垫

若\(a\)%\(b=c\)

则\((a\times k)\)%\(b=(c\times k)\)%\(b\)

(感性理解即可证明，后面要用）

引入一个例子（也是此定理的来源）

求一个数最小的正整数x满足：
\(\begin{cases}{x\equiv2\mod3}&\\{x\equiv3\mod5}&\\ {x\equiv2\mod7}&\end{cases}\)

这道题当时给出了一种做法：

先找出\(x_1,x_2,x_3\)满足
\(\begin{cases}{x_1\equiv 2\mod3}\\{(5\times7)|x_1}\end{cases}\)

\(\begin{cases}{x_2\equiv 3\mod5}\\{(3\times7)|x_2}\end{cases}\)

\(\begin{cases}{x_3\equiv 2\mod7}\\{(3\times5)|x_3}\end{cases}\)

\(x_1=35\) \(x_2=63\) \(x_3=30\)

答案就是\((x_1+x_2+x_3)\mod gcd(3,5,7)=128\mod 105=23\)

推广一下

概述来看这个中国剩余定理就是：

要求正整数x满足：
\(\begin{cases}{x\equiv c_1\mod m_1}\\{x\equiv c_2\mod m_2}\\{\quad\vdots}\\{x\equiv c_n\mod m_n}\end{cases}\)

做法为：设\(sum=m_1\times m_2\times \cdots\times m_n\)
那么找出\(x_1,x_2,…,x_n\)满足：
\(\begin{cases}{x_1\equiv 1\mod m_1}\\{(sum/m_1)|x_1}\end{cases}\)

\(\begin{cases}{x_2\equiv 1\mod m_2}\\{(sum/m_2)|x_2}\end{cases}\)

\(\begin{cases}{x_3\equiv 1\mod m_3}\\{(sum/m_3)|x_3}\end{cases}\)

则\(x_i\)应包含\(sum/m_i\)，才可以满足第二个条件
要满足\((sum/m_i)\)乘一个数\(mod\) \(m_i\)余\(1\)，
则那个数就是\((sum/m_i)\)的模\(m_i\)的逆元，表示为\((sum/m_i)^{-1}\)
再结合下前置芝士可得最后的\(x\)的表达：

\(\displaystyle\sum^{n}_{i=1}c_i\times(sum/m_i)\times(sum/m_i)^{-1 (注意是\mod m_i的逆元)}\)

结语

好了就是这些
逆元的话就作为自学知识吧，之后会附上关于逆元的介绍
百度百科上说的比较奇妙，较为难懂
希望上述说的知识大家可以理解！！