邻项交换

又称微扰法等

例题

最小化最大延迟惩罚

有 n 个任务，每个任务有一个有用时 \(p_i\) 和一个截止时间 \(d_i\)，若完成时间为 \(c_i\)，要最小化 \(max{c_i - d_i}\)。

考虑如果有两个相邻的 \(i\) 和 \(j\)，不交换答案是：

\[\max(t + p_i - d_i, t + p_i + p_j - d_j) \]

交换的答案是：

\[\max(t + p_j - d_j, t + p_i + p_j - d_i) \]

如果交换要不优，那么:

\[\max(t + p_i - d_i, t + p_i + p_j - d_j) \leq \max(t + p_j - d_j, t + p_i + p_j - d_i) \]

这个我们可以化简为：

\[t + p_i + p_j - d_j \leq t + p_i + p_j - d_i\\ \Leftrightarrow d_i \leq d_j \]

则说明按照 \(d_i\) 排序使最优的。

最小化最大权值结束时间之积

若加入权值 \(w_i\)，最小化 \(\max{w_ic_i}\)。

这个也是同理，答案是 \(\frac{p_i}{w_i}\)。

习题

最小式

建立表达式树，那么同号的叶子可以随意互换。

我们可以建出来树后跑 dfs，每次在一个极大的同号子树内进行合并，至于合并的方式我们可以猜测是按照运算时间自小至大合并。

简单证一下：

假如我现在只有三个点 \(t_a < t_b < t_c\)，那么考虑 a 和谁合并：

1. (a-b)-c
   \(ans_1 = \max(O + \max(t_a, t_b), t_c) + O\)
2. (a-c)-b
   \(ans_2 = \max(O + \max(t_a, t_c), t_b) + O\)

\[ans_1 - ans_2 = \max(O + t_b, t_c) - \max(O + t_c, t_b) = \max(O + t_b, t_c) - O - t_c \leq 0 \]

则可知从小到大合并更优。

AT_abc366_f [ABC366F] Maximum Composition

同样考虑邻项交换，我原本的顺序如果是 \(f_a(f_b(x))\)，可以得到交换前后答案之差：

\[A_aB_b - A_bB_a + B_a - B_b = B_a(1 - A_b) - B_b(1 - A_a) \]

若交换不优，则：

\[B_a(1 - A_b) > B_b(1 - A_a)\\ \Leftrightarrow \frac{B_a}{1 - A_a} > \frac{B_b}{1 - A_b} \]

皇后游戏

首先狂暴的推式子后会发现我们卡在了两个 max 的比较上：

设第 \(i\) 个人前面人的 \(\sum a_i = \text{sum}\)，\(c_{i-1} = c_0\)。

\[c_1 = \max\left(c_0, \text{sum}+a_i\right) + b_i \]

\[c_2 = \max\left(c_1, \text{sum}+a_i+a_j\right) + b_j \]

\[= \max\left(\max\left(c_0, \text{sum}+a_i\right) + b_i, \text{sum}+a_i+a_j\right) + b_j \]

\[c_1' = \max\left(c_0, \text{sum}+a_j\right) + b_j \]

\[c_2' = \max\left(c_1', \text{sum}+a_i+a_j\right) + b_i \]

\[= \max\left(\max\left(c_0, \text{sum}+a_j\right) + b_j, \text{sum}+a_i+a_j\right) + b_i \]

\[\max(c_1, c_2) < \max(c_1', c_2') \]

\[\iff c_2 < c_2' \]

\[\iff \max\left(\max\left(c_0, \text{sum}+a_i\right)+b_i+b_j, \text{sum}+a_i+a_j + b_j\right) \]

\[< \max\left(\max\left(c_0, \text{sum}+a_j\right)+b_i+b_j, \text{sum}+a_i+a_j + b_i\right) \]

\[\implies \max\left\{c_0 + b_i + b_j,\ \text{sum}+a_i + b_i + b_j,\ \text{sum}+a_i+a_j + b_j\right\} \]

\[< \max\left\{c_0 + b_i + b_j,\ \text{sum}+a_j + b_i + b_j,\ \text{sum}+a_i+a_j + b_i\right\} \]

发现有共同项 \(c_0 + b_i + b_j\)。

考虑到相同的项对于二分中“是否交换”无影响（分讨一下即可）（都小于时交换与否不影响）。

\[\implies \max(b_i, a_j) + a_i + b_j < \max(b_j, a_i) + a_j + b_i \]

\[\implies \min(a_i, b_j) < \min(a_j, b_i) \]

考虑这个的不可传递的原因，就是没有 \(a = b \to b = c\)

那么我们看一下是什么导致的：

\[min(a_i, b_j) = min(a_j, b_i) min(a_j, b_k) = min(a_k, b_j) \]