树

目录

• 结点分类
• 结点间关系
• 树的其他概念
• 树的存储结构
  • 双亲表示法
    • C语言实现
  • 孩子表示法
    • C语言实现
  • 双亲孩子表示法
  • 孩子兄弟表示法
    • C语言实现
• 二叉树
  • 二叉树特点
  • 特殊二叉树
    • 斜树
    • 满二叉树
    • 完全二叉树
• 二叉树的性质

---

返回 我的技术栈(Technology Stack)

---

树（Tree）是n（n≥0）个结点的有限集。n = 0 时称为空树。
在任意一颗非空树中：
（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
（2）当 n>1 时，其余结点可分为 m (m>0) 个互不相交的有限集 \(T_1\)、 \(T_2\)、...、 \(T_n\)，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）

结点分类

结点的度：结点拥有的子树 数目
树的度：树内各结点的 度 最大值

叶结点（终端结点）：度为0 的结点
分支节点（内部结点 或 非终端结点）：度不为0

结点间关系

结点的子树的 根 称为 该结点的 孩子（Child），相应的，该结点称为孩子的双亲（Parent）
同一个双亲的孩子之间互称兄弟（Sibling）

结点的祖先是从根到 该结点所经分支上的所有结点。如：对 H 来说，D、B、A都是它的祖先。
反之，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。如：对 B 来说，D、G、H、I都是它的孙子。

树的其他概念

结点层次（Level）从根开始定义，根为第一层，根的孩子为第二层。
双亲在同一层的结点互为堂兄弟。如：D、E、F为堂兄弟，G、H、I、J也是堂兄弟
树中结点的最大层次称为树的深度（Depth）或高度。

如果将树中结点的各个子树看成从左到右是有次序的，不能互换，则称该树为有序树，否则称为无序树。

m（m≥0）颗互不相交的树的集合，称为森林（Forest）。对于树中每个结点而言，其子树的集合即为森林

树的存储结构

双亲表示法

假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点在数组中的位置。也就是说，每个结点除了知道自己是谁，还知道它的双亲在哪里。

C语言实现

/*树的双亲表示法 结点结构定义*/
# define MAX_TREE_SIZE 100

typedef int TElemType; /*树结点的数据类型*/

typedef struct PTNode /*结点结构*/
{
	TElemType data; /*结点数据*/
	int parent; /*双亲位置*/
};

typedef struct
{
	PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];   /*结点数组*/
	int r, n;  /*根的位置和结点树*/
}PTree;

如下图所示：
由于根结点没有双亲结点，所以我们约定根结点的位置域设置为-1。

下标	data	parent
0	A	-1
1	B	0
2	C	0
3	D	1
4	E	2
5	F	2
6	G	3
7	H	3
8	I	3
9	J	4
这样的存储结构，我们可以很快根据结点parent指针找到他的双亲结点，所用的时间复杂度是O(1)，直到parent为-1时，表示找到了树结点的根。
可是，如果我们要知道结点的孩子是什么，就必须遍历整个结构了！

孩子表示法

把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空，然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放在一个一维数组中。

C语言实现

/*树的孩子表示法结构定义*/
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int TElemType; /*树结点的数据类型*/
typedef struct CTNode /*孩子结点*/
{
	int child;
	struct CTNode* next;
} *ChildPtr;

typedef struct /*表头结构*/
{
	TElemType data;
	ChildPtr firstchild;
}CTBox;
typedef struct /*树结构*/
{
	CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; /*结点数组*/
	int r, n; /*根的位置和结点数*/
}CTree;

双亲孩子表示法

孩子兄弟表示法

任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。

C语言实现

typedef int TElemType; /*树结点的数据类型*/
/*树的孩子兄弟表示法结构定义*/
typedef struct CSNode
{
	TElemType data;
	struct CSNode* firstchild, * rightsib;
}CSNode, * CSTree;

二叉树

二叉树（Binary Tree）是 n (n≥0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两颗互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树特点

• 每个结点最多有两颗子树，所以二叉树不存在度大于 2 的结点。【注意：不是只有两颗子树，而是最多有；没有子树或只有一颗子树也是可以的】
• 左子树和右子树是有顺序的，不可以任意颠倒。
• 即使树中某结点只有一颗子树，也要区分它是左子树还是右子树。

二叉树具有5中基本形态：

• 空二叉树
• 只有一个根结点
• 根结点只有左子树
• 根结点只有右子树
• 根结点既有左子树又有右子树

特殊二叉树

斜树

所有的结点都是只有左子树的二叉树叫左斜树
所有的结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树
左斜树和右斜树统称为斜树

满二叉树

在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

完全二叉树

对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i(1≤i≤n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这颗二叉树称为完全二叉树。

二叉树的性质

1、在二叉树的第 i 层上至多有 \(2^{(i-1)}\) 个结点（i≥1）。

2、深度为 k 的二叉树至多有 \(2^{k}-1\) 个结点（K≥1）。

3、对于任何一颗二叉树 T ，如果其终端结点数为 \(n_0\)，度为2的结点数为 \(n_2\)，则\(n_0 = n_2 + 1\)。
4、具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 \(\left \lfloor log_2n \right \rfloor +1\)。（\(\left \lfloor x \right \rfloor\)表示不大于x的最大整数）

参考：
[1]大话数据结构/程杰著.——北京：清华大学出版社，2011.6