矩阵树定理

矩阵树定理

对于一张无自环有向图 \(G\)，边 \((u,v)\) 有边权 \(a_{i,j}\)，记其 Laplace 矩阵 \(L\) 满足 \(L_{i,j}=\begin{cases}-a_{i,j}\quad &i\neq j\\\sum_{k=1}^na_{i,k}\quad &i=j\end{cases}\)。

矩阵树定理声称这样一件事：删去 \(L\) 的第 \(u\) 行第 \(u\) 列后的行列式值为 \(G\) 的每一个以 \(u\) 为根的根向生成树的边权积之和。

接下来给出一种纯组合证明：

为了方便起见不平移行列号，只是视作没有第 \(u\) 行和第 \(u\) 列。

考虑我们如何去数生成树。一个 too young too simple, sometimes naive 的想法是直接对每个非 \(u\) 结点随便指定一个父亲，并乘上边权，这样的加权方案数就是 \(\prod_{i\neq u}\sum_{j}a_{i,j}\)。那这样何时会出问题呢？这样统计出的方案数实际上是一棵 \(u\) 为根的树与若干棵基环树森林的加权方案数。

于是我们就有了一个矩阵树定理的雏形：钦定 \(k\) 棵基环树，并赋上 \((-1)^k\) 的权值，剩下部分乱搞用前面的 naive 想法草一下。

如何刻画基环树数呢？发现对外面挂的点很难搞，但是无所谓，我们可以只关心环。具体来说，我们钦定一个环森林（相当于基环树森林的每个环根），对于这部分乘上 \((-1)^{\text{环数}}\) 的系数，其余的部分随便连。

发现这个 \((-1)^\text{环数}\) 让人感到熟悉，具体来说，我们知道 \((-1)^{\tau(p)}=(-1)^{\lvert p\rvert-\#p}\)，其中 \(\tau(p)\) 为 \(p\) 逆序对数而 \(\#p\) 为 \(p\) 的置换环数，这个的原因是 \(\lvert p\rvert-\#p\) 是每次交换任意两项将 \(p\) 排为升序的最小操作次数，\(\tau(p)\) 是每次交换相邻两项将 \(p\) 排为升序的最小操作次数，而一次交换一定翻转排列奇偶性。

那么你枚举一个 \([1,2,\cdots,u-1,u+1,\cdots,n]\) 的置换 \(p\)，其中若 \(p_i=i\) 表示 \(i\) 未被钦定，否则是 \(i\) 被钦定在置换环上且其下一项是 \(p_i\)，那么你需要的容斥系数就是 \((-1)^{\tau(p)+\sum_{i\neq u}[i\neq p_i]}\)，而这种钦定下的方案数是 \(\prod_{i\neq u}\left([p_i=i]\sum_j a_{i,j}+[p_i\neq i]a_{i,p_i}\right)\)。那你不妨移动下把 \((-1)^{\sum_{i\neq u}[i\neq p_i]}\) 分配到后面的每个 \(a_{i,p_i}\) 上，写出来就是

\[\sum_{p\text{ 是 }[1,2,\cdots,u-1,u+1,\cdots,n]\text{ 的置换}}(-1)^{\tau(p)}\sum_{i\neq u}([p_i=i]\sum_j a_{i,j}+[p_i\neq i]a_{i,p_i}) \]

即为 Laplace 矩阵删去第 \(u\) 行第 \(u\) 列的行列式，因此得证。

推论：Cayley 定理

由上得知，所求即为 \(\det(A)\)。

其中 \(A\) 是一个 \((n-1)\times(n-1)\) 的矩阵满足 \(\forall i\in[n-1],\;A_{i,i}=n-1,\,\forall j\in [n-1]\setminus\{i\},\;A_{i,j}=-1\)。

那考虑你去直接展开，枚举一下 \(p_i\neq i\) 的个数为 \(k\)，求其错排加权数。

具体来说，我们需要求出一个长为 \(k\) 的错排加权方案数，权为 \((-1)^{\tau(p)}\)。不妨记其为 \(f_k\)。

我们有 \(f_0=1,f_1=0\)，以及不难发现错排递推可以套用过来，原本构造的交换必然带来一次奇偶性翻转，因此有 \(f_{n+2}=-(n+1)(f_n+f_{n+1})\)，不难解得 \(f_n=(-1)^{n-1}(n-1)\)。

那么写出我们的展开式

\[\begin{aligned} n \text{ 个点有标号无根树个数 }&=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}(-1)^{k-1}(k-1)(-1)^k(n-1)^{n-1-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}(1-k)(n-1)^{n-1-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}(n-1)^{n-1-k}-(n-1)^{n-2}\sum_{i=0}^{n-1}k\binom{n-1}{k}(\frac{1}{n-1})^{k-1}\\ &=(1+(n-1))^{n-1}-(n-1)^{n-2}(n-1)(1+\frac{1}{n-1})^{n-2}\\ &=n^{n-2} \end{aligned} \]

即证。

同样可以得到 \(n\times n\) 的全 \(1\) 矩阵的特征多项式是 \(p(x)=x^n-nx^{n-1}\)。