火车过桥从相遇到相离问题

求从相遇到相离的时间

如下图，两列火车\(A\)、\(B\)相向而行，已知速度\(V_A\)、\(V_B\)，火车长度\(L_A\)、\(L_B\)，求从相遇到相离的时间。

从相遇到相离，分为两个阶段：

1. \(A\)车尾和\(B\)车头行驶到同一位置，如下图，相当于\(A\)车尾和\(B\)车头做简单相遇问题，路程为\(L_A\)，时间\(t_1=\frac{L_A}{V_A+V_B}\)。

   

2. \(A\)车尾和\(B\)车尾行驶到同一位置，如下图，相当于\(A\)车尾和\(B\)车尾做简单相遇问题，路程为\(L_B\)，时间\(t_2=\frac{L_B}{V_A+V_B}\)。

   

总时间\(t=t_1+t_2=\frac{L_A+L_B}{V_A+V_B}\)，即车长之和除以速度之和。

相遇时和相离时的位置关系

如下图，以地面为参考系，是否相遇时和相离时一定有这样的位置关系，即相遇时\(A\)车尾的位置是相离时\(B\)车头的位置，相遇时\(B\)车尾的位置是相离时\(A\)车头的位置？

不一定。

\(A\)车行驶的距离\(S_A=V_A t=V_A \cdot \frac{L_A+L_B}{V_A+V_B}\)，不一定等于\(L_B\)，同理\(S_B\)不一定等于\(L_A\)。

举个反例，如果短车速度慢、长车速度快，则显然不符合，如下图。

那么，什么情况下有这样的位置关系？

满足\(\begin{cases} S_A=L_B \\ S_B = L_A \end{cases}\)时有这样的位置关系。

由\(S_A=L_B\)或\(S_B=L_A\)均可推出\(\frac{V_A}{V_B}=\frac{L_B}{L_A}\)，即速度之比等于车长之比的倒数，短车速度快、路程长，长车速度慢、路程短。