dp例题03. 最大子矩阵和

题目Description：

   给出一个矩阵， 求子矩阵（可以是其本身）数之和的最大值

Input：

  第一行 为行数n和列数m       （n≤500， m≤500）

  接下来为一个n行m列的矩阵 （每个值ai，−1000 ≤ ai ≤ 1000）

Output：

 子矩阵（可以是其本身）数之和的最大值

Sample Input:

4  4

0 -2 -7  0

9  2 -6  2

-4 1 -4  1

-1 8  0  -2

Sample Output：

   15

解题思路:

 解法1：单纯用二维前缀和  时间复杂度O(n*n*m*m);（TLE)

 解法2：dp+前缀和  时间复杂度O(n*n*m) 或O(n*m*m)

　　如果是求一维的最长子序列 我们会用O（n）的时间复杂度求出

　　而这里为二维的， 能否用一维的解法思想去转化一下？

       刚开始从行数遍历（不裁剪列数情况下）所有的子矩阵， 需要O(n²)时间， 之后对于这样遍历的子矩阵进行求解最大和，能否利用O(m)时间完成求解

       　　遍历后的二维子矩阵可以一维数组化（即 将 单列上的数相加为一个数， 构造出plus数组）， 再利用求一维最长子序列的思想（O(m)时间复杂度）即可

       构造plus数组：利用每一列上的前缀和， 比如求第 k 列上第 i 行到第 j 行的数之和 plus[k] = col_sum[j][k] - col_sum[i-1][k]; 　　O(1) 时间复杂度

　    单独构造col_sum数组： O(n*m)时间复杂度

以下为c语言代码（解法2）

#include <stdio.h>
int a[501][501], col_sum[501][501];
int max_subsequence(int * a, int n) {
    int sum = -1e7, max = -1e7;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sum = (sum + a[i] > a[i])? sum + a[i] : a[i];
        max = (sum > max)? sum : max;
    }
    return max;
}
int main() {
    int row, col, plus[501];
    scanf("%d%d", &row, &col);
    for (int i = 0; i < row; i++) {
        for (int j = 0; j < col; j++) {
            scanf("%d", &a[i][j]);
        }
    }
    for (int j = 0; j < col; j++) {
        for (int i = 0; i < row; i++) {
            if (i == 0) {
                col_sum[i][j] = a[i][j];
            }
            else {
                col_sum[i][j] = col_sum[i-1][j] + a[i][j];
            }
        }
    }
    int ans = -1e7;
    for (int i = 0; i < row; i++) {
        for (int k = i; k < row; k++) {
            if (i == 0) {
                for (int j = 0; j < col; j++) {
                    plus[j] = col_sum[k][j];
                }
                int temp = max_subsequence(plus, col);
                ans = (temp > ans) ? temp : ans;
            }
            else {
                for (int j = 0; j < col; j++) {
                    plus[j] = col_sum[k][j] - col_sum[i-1][j];
                }
                int temp = max_subsequence(plus, col);
                ans = (temp > ans) ? temp : ans;
            }
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}